安徽师范大学 2013年数学分析第1题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将乘积项分解为平方差形式
将每个因子 $1-\frac{1}{k^2}$ 写成平方差形式：$1-\frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$。
公式：$1-\frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$
提示：注意 $k$ 从2开始，不要遗漏因子。
步骤 2/6
目标：写出乘积的展开形式
将乘积写为：
$$\prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdots \frac{(n-2)n}{(n-1)^2} \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}.$$
提示：注意分子和分母的对应关系，避免写错项。
步骤 3/6
目标：观察分子分母的抵消规律
分子中除了首尾的1和(n+1)外，中间每个数出现两次（例如3出现在第一个分子和第三个分母？实际上需仔细分析）。更系统的方法是：将乘积写成连乘形式，分子为 $\prod_{k=2}^n (k-1) \cdot \prod_{k=2}^n (k+1)$，分母为 $\prod_{k=2}^n k^2$。
提示：注意分子两个乘积的起始和终止索引不同。
步骤 4/6
目标：分别计算分子和分母的乘积
分子第一部分：$\prod_{k=2}^n (k-1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!$。
分子第二部分：$\prod_{k=2}^n (k+1) = 3 \cdot 4 \cdots (n+1) = \frac{(n+1)!}{2}$。
分母：$\prod_{k=2}^n k^2 = (2 \cdot 3 \cdots n)^2 = (n!)^2$。
公式：$\prod_{k=2}^n (k-1) = (n-1)!$, $\prod_{k=2}^n (k+1) = \frac{(n+1)!}{2}$, $\prod_{k=2}^n k^2 = (n!)^2$
提示：注意第二部分乘积从3开始，所以是 $(n+1)!/2$。
步骤 5/6
目标：化简乘积表达式
原乘积 = $\frac{(n-1)! \cdot \frac{(n+1)!}{2}}{(n!)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)!(n+1)!}{(n!)^2}$。
利用阶乘性质：$(n+1)! = (n+1)n!$，$(n-1)! = \frac{n!}{n}$，代入得：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{n!}{n} \cdot (n+1)n!}{(n!)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n}.$$
公式：$(n+1)! = (n+1)n!$, $(n-1)! = \frac{n!}{n}$
提示：注意阶乘的化简要准确，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：取极限得到最终结果
因此，$\prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n+1}{n} \to 1$，所以极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1$
提示：注意极限过程，不要忘记乘以1/2。
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