安徽师范大学 2013年数学分析第2题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出极限表达式
原极限为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$。由于 $\sqrt[n]{n!} = (n!)^{1/n}$，所以极限等价于 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n!)^{1/n}}$。
公式：$\sqrt[n]{n!} = (n!)^{1/n}$
提示：注意根指数与指数的转换，避免混淆。
步骤 2/6
目标：取自然对数转化
考虑 $\ln\left(\frac{1}{(n!)^{1/n}}\right) = -\frac{1}{n} \ln(n!) = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln k$。因此，原极限的值为 $e^{L}$，其中 $L = \lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln k\right)$。
公式：$\ln(n!) = \sum_{k=1}^{n} \ln k$
提示：取对数后极限的指数形式要小心，注意符号。
步骤 3/6
目标：尝试定积分方法
考虑 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln k$ 的极限。若将其视为黎曼和，则 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\ln k \approx \int_0^1 \ln x \, dx$，但 $\int_0^1 \ln x \, dx$ 发散（因为 $\ln x$ 在 $0$ 附近趋于 $-\infty$），所以定积分方法不适用。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$
提示：注意被积函数在区间端点是否可积，这里 $\ln x$ 在 $0$ 处发散。
步骤 4/6
目标：使用斯特林公式
斯特林公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$。因此，$(n!)^{1/n} \sim \left(\sqrt{2\pi n}\right)^{1/n} \cdot \frac{n}{e}$。由于 $\left(\sqrt{2\pi n}\right)^{1/n} = e^{\frac{1}{2n}\ln(2\pi n)} \to e^0 = 1$，所以 $(n!)^{1/n} \sim \frac{n}{e} \to \infty$。从而原极限 $\frac{1}{(n!)^{1/n}} \to 0$。
公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
提示：斯特林公式的渐近性质要理解，注意 $\left(\sqrt{2\pi n}\right)^{1/n} \to 1$ 的推导。
步骤 5/6
目标：用不等式严格证明
利用不等式：$\frac{n^n}{e^{n-1}} \leq n! \leq \frac{n^{n+1}}{e^{n-1}}$（可通过数学归纳法证明）。于是 $\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \leq \frac{e^{(n-1)/n}}{n}$。由于 $e^{(n-1)/n} \to e$，所以 $\frac{e^{(n-1)/n}}{n} \to 0$。又极限非负，由夹逼定理得极限为 $0$。
公式：$\frac{n^n}{e^{n-1}} \leq n! \leq \frac{n^{n+1}}{e^{n-1}}$
提示：注意不等式方向，确保夹逼定理适用。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
由以上分析，原极限为 $0$。
提示：最终答案应简洁明了。
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