安徽师范大学 2013年数学分析第3题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{2 n}+a_{3} b_{2 n-2}+\cdots+a_{2 n-3} b_{4}+a_{2 n-1} b_{2}}{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别求和结构
设 $S_n = a_1 b_{2n} + a_3 b_{2n-2} + \cdots + a_{2n-3} b_4 + a_{2n-1} b_2$，则所求极限为 $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}$。注意到 $S_n$ 共有 $n$ 项，且每项下标之和为 $2n+1$（例如 $1+2n=2n+1$，$3+(2n-2)=2n+1$，等等）。
提示：注意项数：从 $a_1$ 到 $a_{2n-1}$ 共 $n$ 个奇数下标，对应 $b$ 的下标从 $2n$ 递减到 $2$，也是 $n$ 个偶数下标。
步骤 2/7
目标：变量替换简化
令 $c_k = a_{2k-1}$，$d_k = b_{2k}$，则 $c_k \to a$，$d_k \to b$（因为 $\lim a_n = a$，$\lim b_n = b$，子列极限相同）。于是 $S_n = \sum_{k=1}^n c_k d_{n+1-k}$。
提示：注意下标对应：$c_k$ 对应 $a_{2k-1}$，$d_{n+1-k}$ 对应 $b_{2(n+1-k)} = b_{2n+2-2k}$，但原式 $b_{2n-2(k-1)} = b_{2n-2k+2}$，一致。
步骤 3/7
目标：转化为卷积平均
所求极限为 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n c_k d_{n+1-k}$。这是两个收敛数列的卷积平均，形式为 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k y_{n+1-k}$。
提示：卷积平均与算术平均不同，但极限性质类似。
步骤 4/7
目标：应用已知结论或Stolz定理
由已知结论：若 $x_n \to x$，$y_n \to y$，则 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k y_{n+1-k} \to xy$。也可用Stolz定理证明：令 $T_n = \sum_{k=1}^n c_k d_{n+1-k}$，则 $\lim \frac{T_n}{n} = \lim (T_n - T_{n-1})$，但 $T_n - T_{n-1} = c_n d_1$，极限为 $ab$，需注意 $T_n$ 定义中下标变化。更严谨用 $ε-N$ 语言。
提示：Stolz定理适用条件：分母单调趋于无穷。这里分母 $n$ 满足。
步骤 5/7
目标：严格证明：分割求和
对任意 $ε > 0$，存在 $N$ 使得当 $k > N$ 时 $|c_k - a| < ε$，$|d_k - b| < ε$。将 $S_n$ 分为 $k \leq N$ 和 $k > N$ 两部分：$S_n = \sum_{k=1}^N c_k d_{n+1-k} + \sum_{k=N+1}^n c_k d_{n+1-k}$。前 $N$ 项有界，除以 $n$ 后趋于 $0$。
提示：注意 $d_{n+1-k}$ 的下标随 $n$ 变化，但当 $k$ 固定且 $n$ 充分大时，$n+1-k > N$，故 $d_{n+1-k}$ 接近 $b$。
步骤 6/7
目标：估计后半部分
对于 $k > N$，有 $|c_k d_{n+1-k} - ab| \leq |c_k - a||d_{n+1-k}| + |a||d_{n+1-k} - b| < ε(|b|+ε) + |a|ε$。因此 $\left| \frac{1}{n} \sum_{k=N+1}^n c_k d_{n+1-k} - ab \right| < ε(|b|+ε) + |a|ε$。当 $n$ 充分大时，前 $N$ 项贡献可忽略，故极限为 $ab$。
提示：注意 $|d_{n+1-k}| \leq |b| + ε$ 当 $n+1-k > N$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n} = ab$。即原极限为 $ab$。
提示：最终答案：$\boxed{ab}$。
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