安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
二，（15 分）证明：$\displaystyle x+x^{3}+x^{5}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且严格单调递增．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义函数并明确问题
设函数 $f_n(x) = x + x^3 + x^5 + \cdots + x^{2n-1}$，定义域为 $[0,1]$。需要证明 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格单调递增。
提示：注意定义域是闭区间 $[0,1]$，包括端点。
步骤 2/7
目标：证明连续性
$f_n(x)$ 是有限个幂函数的和。每个幂函数 $x^k$（$k$ 为正整数）在 $[0,1]$ 上连续，因此有限个连续函数的和 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
提示：连续函数的有限和仍连续，但无限和不一定。这里项数有限，所以直接应用性质。
步骤 3/7
目标：求导并分析导数符号
对 $f_n(x)$ 求导得：$f_n'(x) = 1 + 3x^2 + 5x^4 + \cdots + (2n-1)x^{2n-2}$。当 $x \in [0,1]$ 时，每一项 $(2k-1)x^{2k-2} \ge 0$，且当 $x > 0$ 时，第一项 $1 > 0$，故 $f_n'(x) > 0$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。
公式：$f_n'(x) = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)x^{2k-2}$
提示：注意求导时指数减1，系数为原指数。当 $x=0$ 时，除第一项外其他项为0，但第一项为1，所以导数仍为正。
步骤 4/7
目标：由导数正性推出严格单调递增
由于 $f_n'(x) > 0$ 在 $[0,1]$ 上成立，根据导数与单调性的关系，$f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增。
提示：严格单调递增要求导数大于0（几乎处处），这里导数处处大于0，满足条件。
步骤 5/7
目标：计算端点函数值
计算 $f_n(0) = 0$，$f_n(1) = n$（因为 $1+1+\cdots+1$ 共 $n$ 项）。
公式：$f_n(0)=0$, $f_n(1)=n$
提示：注意 $x=1$ 时每一项均为1，和为项数 $n$。
步骤 6/7
目标：应用介值定理得到方程解的存在唯一性
由于 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格单调递增，且 $f_n(0)=0 < 1 < n = f_n(1)$（当 $n \ge 1$ 时），由介值定理，存在唯一 $x_n \in (0,1)$ 使得 $f_n(x_n)=1$。
提示：介值定理要求函数连续且端点值异号（或一侧小于另一侧大于目标值）。这里 $0<1
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$f_n(x)=x+x^3+\cdots+x^{2n-1}$ 在 $[0,1]$ 上连续且严格单调递增，且方程 $f_n(x)=1$ 在 $(0,1)$ 内有唯一解。
提示：注意题目只要求证明连续和严格单调递增，但通常也会讨论方程的解。
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