安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收敛域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简通项，便于分析
将通项 $a_n(x) = \frac{(n+x)^n}{n^{n+x}}$ 改写为 $a_n(x) = \frac{(n+x)^n}{n^n \cdot n^x} = \left(\frac{n+x}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n^x} = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n^x}$。
公式：$a_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n^x}$
提示：注意指数运算的拆分，$n^{n+x} = n^n \cdot n^x$。
步骤 2/6
目标：利用重要极限估计通项渐近行为
由重要极限 $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$，可知当 $n$ 充分大时，$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \sim e^x$，因此 $a_n(x) \sim \frac{e^x}{n^x}$。
公式：$a_n(x) \sim \frac{e^x}{n^x}$
提示：渐近等价只适用于 $n$ 很大时，不影响有限项。
步骤 3/6
目标：用比较判别法判断收敛性
由于 $a_n(x) \sim \frac{e^x}{n^x}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^x}$ 是 $p$ 级数，在 $x>1$ 时收敛，在 $x \le 1$ 时发散。因此原级数在 $x>1$ 时绝对收敛，在 $x<1$ 时发散。
公式：$\sum \frac{1}{n^x}$ 收敛当且仅当 $x>1$
提示：比较判别法要求通项非负，这里 $n$ 充分大时通项为正，可应用。
步骤 4/6
目标：讨论边界点 $x=1$
当 $x=1$ 时，$a_n(1) = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n}$。由于 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，故 $a_n(1) \sim \frac{e}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，所以原级数在 $x=1$ 处发散。
公式：$a_n(1) \sim \frac{e}{n}$
提示：边界点需单独验证，不能直接由渐近关系得出。
步骤 5/6
目标：考虑 $x$ 为负数的情况
当 $x<0$ 时，只要 $n > |x|$，就有 $n+x>0$，通项为正且渐近行为仍为 $a_n(x) \sim \frac{e^x}{n^x}$。由于 $x<1$ 时 $n^x$ 增长慢于 $n$（或 $n^x$ 衰减），级数发散。有限项不影响收敛性，故对所有 $x<1$ 级数发散。
公式：当 $x<1$ 时，$\frac{e^x}{n^x}$ 对应的 $p$ 级数发散
提示：负 $x$ 时 $n^x$ 是衰减的，但 $p$ 级数要求 $x>1$ 才收敛，注意 $x$ 为负时 $n^x$ 是 $n^{|x|}$ 的倒数，发散更快。
步骤 6/6
目标：综合结论
综合以上分析，原级数在 $x>1$ 时绝对收敛，在 $x \le 1$ 时发散，因此收敛域为 $(1, +\infty)$。
公式：收敛域：$(1, +\infty)$
提示：注意开区间，$x=1$ 不在收敛域内。
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