安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
一，（18 分）（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{d^{n}\left[e^{a x} \sin (b x+c)\right]}{d x^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算分子平方和
将分子中的每一项展开：$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$，然后对k从1到n求和：
$$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1.$$
公式：$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$
提示：注意求和符号的线性性质，可以逐项分开求和。
步骤 2/8
目标：代入求和公式
利用已知求和公式：
$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n 1 = n.$$
代入得：
$$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n.$$
公式：$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
提示：注意系数不要算错，特别是4/6化简为2/3。
步骤 3/8
目标：化简分子表达式
将上一步结果通分并化简：
$$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}.$$
计算括号内：$2(n+1)(2n+1) = 4n^2+6n+2$，减去$6(n+1)=6n+6$得$4n^2-4$，再加3得$4n^2-1$。所以：
$$\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{4n^3 - n}{3}.$$
提示：化简时注意合并同类项，避免符号错误。
步骤 4/8
目标：求极限
将分子代入极限表达式：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{4n^3 - n}{3} = \lim_{n\to\infty} \frac{4 - 1/n^2}{3} = \frac{4}{3}.$$
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}=0$
提示：注意分子最高次项为$4n^3$，除以$n^3$后极限为$4/3$。
步骤 5/8
目标：利用欧拉公式将函数表示为指数形式
设$y = e^{ax}\sin(bx+c)$。利用欧拉公式$\sin\theta = \Im\{e^{i\theta}\}$，其中$\Im$表示取虚部，则：
$$y = \Im\{e^{ax} e^{i(bx+c)}\} = \Im\{e^{(a+ib)x + ic}\} = \Im\{e^{ic} e^{(a+ib)x}\}.$$
公式：$\sin\theta = \Im\{e^{i\theta}\}$
提示：注意欧拉公式中虚部的表示，$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$。
步骤 6/8
目标：求n阶导数
对指数函数求n阶导数：$\frac{d^n}{dx^n} e^{(a+ib)x} = (a+ib)^n e^{(a+ib)x}$。因此：
$$y^{(n)} = \Im\{e^{ic} (a+ib)^n e^{(a+ib)x}\} = \Im\{e^{ic} (a+ib)^n e^{ax} e^{ibx}\}.$$
公式：$\frac{d^n}{dx^n} e^{kx} = k^n e^{kx}$
提示：注意复数指数函数的导数与实数情况类似，只是系数变为复数。
步骤 7/8
目标：将复数表示为极坐标形式
令$a+ib = \sqrt{a^2+b^2} e^{i\theta}$，其中$\theta = \arctan(b/a)$（需根据a,b符号确定象限）。则$(a+ib)^n = (a^2+b^2)^{n/2} e^{in\theta}$。代入得：
$$y^{(n)} = \Im\{e^{ic} (a^2+b^2)^{n/2} e^{in\theta} e^{ax} e^{ibx}\} = (a^2+b^2)^{n/2} e^{ax} \Im\{e^{i(bx + c + n\theta)}\}.$$
公式：$a+ib = \sqrt{a^2+b^2} e^{i\theta}$
提示：注意$\theta$的取值要正确，当a=0时需单独处理。
步骤 8/8
目标：取虚部得到最终结果
由于$\Im\{e^{i\phi}\} = \sin\phi$，所以：
$$y^{(n)} = (a^2+b^2)^{n/2} e^{ax} \sin(bx + c + n\theta),$$其中$\theta = \arctan(b/a)$（取主值）。
公式：$\Im\{e^{i\phi}\} = \sin\phi$
提示：最终结果中$\theta$应使用反正切函数，注意a=0时$\theta = \pi/2$或$-\pi/2$取决于b的符号。
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