📝 安徽师范大学 2015年数学分析真题

一，（18 分）（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{d^{n}\left[e^{a x} \sin (b x+c)\right]}{d x^{n}}$ ．

七，（10 分）考察 $\displaystyle f(x)=x^{x}$ 的凹凸性．

三，（10 分）数列 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \cdots$ 的导集．

九，（18 分）轮船行驶一昼夜的成本由固定成本 a 和可变成本构成，可变成本与速度的立方成正比，试求轮船的经济速度。

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\cos ^{n} \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ 。

五，（15 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

八，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|\left(2+\cos \frac{1}{x}\right)$ 的值域．

六，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ 的导数

十，（15 分）设 $\displaystyle u=\ln (x+y)$ ，求 $\displaystyle d^{2015} u$ ．

十一，（10 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2}-c^{\frac{1}{n}}\right)$ 的玫散性。 $\displaystyle (a>0, b>0, c>0)$

十二，（15 分 ）若 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1$ 的 外 表 面，计 算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$.

四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ 。