安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\cos ^{n} \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简余弦表达式
由于余弦函数周期为 $2\pi$，考虑 $\frac{2n\pi}{3}$ 模 $2\pi$。令 $\theta_n = \frac{2n\pi}{3} \mod 2\pi$，则 $\cos \frac{2n\pi}{3} = \cos \theta_n$。计算 $n=1,2,3$ 得：$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac12$，$\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac12$，$\cos 2\pi = 1$。由于周期为 $2\pi$，$\cos \frac{2n\pi}{3}$ 只有两个值：当 $3\mid n$ 时为 $1$，否则为 $-\frac12$。
公式：$\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$
提示：注意 $\frac{2n\pi}{3}$ 模 $2\pi$ 的周期性，不要遗漏 $n$ 为3的倍数的情况。
步骤 2/7
目标：写出 $x_n$ 的分段表达式
由 $x_n = \cos^n \frac{2n\pi}{3}$ 得：
$$x_n = \begin{cases}
1^n = 1, & \text{若 } 3 \mid n, \\
\left(-\frac12\right)^n, & \text{若 } 3 \nmid n.
\end{cases}$$
当 $3 \nmid n$ 时，$\left(-\frac12\right)^n$ 的符号取决于 $n$ 的奇偶：若 $n$ 为奇数，值为 $-\left(\frac12\right)^n$；若 $n$ 为偶数，值为 $\left(\frac12\right)^n$。
提示：注意 $(-\frac12)^n$ 的符号与 $n$ 的奇偶性有关。
步骤 3/7
目标：求下确界 $\inf\{x_n\}$
考虑所有 $n$：
- 当 $3\mid n$ 时，$x_n=1$。
- 当 $3\nmid n$ 且 $n$ 为奇数时，$x_n = -\left(\frac12\right)^n$，这些值为负，且随 $n$ 增大趋近于0（从负方向）。最小（最负）的是 $n=1$ 时，$x_1 = -\frac12$。
- 当 $3\nmid n$ 且 $n$ 为偶数时，$x_n = \left(\frac12\right)^n$，这些值为正。
因此，集合中最小值为 $-\frac12$，故 $\inf\{x_n\} = -\frac12$。
提示：下确界是集合中的最小值，注意负数比正数小。
步骤 4/7
目标：求上确界 $\sup\{x_n\}$
集合中最大值为 $1$（当 $3\mid n$ 时），其他值均小于1。因此 $\sup\{x_n\} = 1$。
提示：上确界是集合中的最大值，注意 $1$ 是可达的。
步骤 5/7
目标：分析子列极限
考虑三个子列：
- $n=3k$：$x_{3k}=1$，极限为 $1$。
- $n=3k+1$：$x_{3k+1} = -\left(\frac12\right)^{3k+1}$，极限为 $0$。
- $n=3k+2$：$x_{3k+2} = \left(\frac12\right)^{3k+2}$，极限为 $0$。
由于不同子列极限不同，$x_n$ 不收敛。
公式：$\lim_{k\to\infty} \left(\frac12\right)^k = 0$
提示：注意 $(-\frac12)^n$ 的绝对值趋于0，但符号交替。
步骤 6/7
目标：求下极限 $\liminf_{n\to\infty} x_n$
下极限是所有子列极限的最小值。子列极限有 $1$ 和 $0$，最小值为 $0$。因此 $\liminf_{n\to\infty} x_n = 0$。
公式：$\liminf_{n\to\infty} x_n = \min\{\text{子列极限}\}$
提示：下极限是子列极限的下确界，这里取最小值。
步骤 7/7
目标：求上极限 $\limsup_{n\to\infty} x_n$
上极限是所有子列极限的最大值。子列极限有 $1$ 和 $0$，最大值为 $1$。因此 $\limsup_{n\to\infty} x_n = 1$。
公式：$\limsup_{n\to\infty} x_n = \max\{\text{子列极限}\}$
提示：上极限是子列极限的上确界，这里取最大值。
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