安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
五，（15 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收玫性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x_1,x_2\in I,\ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：直观判断函数性质
函数 $f(x)=x\sin x$ 的振幅随着 $x$ 增大而增大，因为虽然 $\sin x$ 有界，但乘以 $x$ 后，在正弦值变化较快的地方，函数值的波动幅度会随 $x$ 增加而变大，这通常破坏一致连续性。
公式：f(x)=x\sin x
提示：当函数在无穷远处振荡幅度无界增大时，往往不一致连续。
步骤 3/6
目标：构造反例点列
取 $x_n=2n\pi$，$y_n=2n\pi+\frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时，$|x_n-y_n|=\frac{1}{n}\to 0$。
公式：x_n=2n\pi,\quad y_n=2n\pi+\frac{1}{n},\quad |x_n-y_n|=\frac{1}{n}
提示：构造的点列应使自变量距离任意小，但函数值差保持较大。
步骤 4/6
目标：计算函数值差
计算 $f(x_n)=2n\pi\cdot\sin(2n\pi)=0$。对于 $y_n$，有 $\sin(y_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{1}{n}\right)=\sin\left(\frac{1}{n}\right)$，故 $f(y_n)=\left(2n\pi+\frac{1}{n}\right)\sin\left(\frac{1}{n}\right)$。当 $n$ 很大时，$\sin(1/n)\sim 1/n$，于是 $f(y_n)\approx \left(2n\pi+\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=2\pi+\frac{1}{n^2}$。因此 $|f(x_n)-f(y_n)|\approx 2\pi$。
公式：f(x_n)=0,\quad f(y_n)\approx 2\pi+\frac{1}{n^2},\quad |f(x_n)-f(y_n)|\approx 2\pi
提示：利用等价无穷小 $\sin(1/n)\sim 1/n$ 简化计算，注意 $2\pi$ 是常数。
步骤 5/6
目标：应用定义证明不一致连续
取 $\varepsilon=\pi$，则对任意 $\delta>0$，只要取足够大的 $n$ 使得 $\frac{1}{n}<\delta$，就有 $|x_n-y_n|=\frac{1}{n}<\delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\approx 2\pi>\pi=\varepsilon$。因此不存在满足一致连续定义的 $\delta$，故函数不一致连续。
公式：\varepsilon=\pi,\quad \forall\delta>0,\ \exists n\text{ 使 }|x_n-y_n|<\delta\text{ 且 }|f(x_n)-f(y_n)|>\pi
提示：反证法：假设一致连续，则对 $\varepsilon=\pi$ 存在 $\delta$，但构造的点列矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
函数 $f(x)=x\sin x$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致连续。
提示：注意题目中“一致收玫性”应为“一致连续性”的笔误。
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