安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
十一，（10 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2}-c^{\frac{1}{n}}\right)$ 的玫散性。 $\displaystyle (a>0, b>0, c>0)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出通项并分析其渐近行为
设 $u_n = \frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2} - c^{1/n}$。当 $n\to\infty$ 时，利用指数函数的泰勒展开：$a^{1/n} = e^{\frac{\ln a}{n}} = 1 + \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$，类似有 $b^{1/n}$ 和 $c^{1/n}$。代入得：
$$u_n = \frac{1+\frac{\ln a}{n}+O(1/n^2) + 1+\frac{\ln b}{n}+O(1/n^2)}{2} - \left(1+\frac{\ln c}{n}+O(1/n^2)\right) = \frac{\ln a + \ln b}{2n} - \frac{\ln c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{\ln\sqrt{ab} - \ln c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$
公式：$e^x = 1 + x + O(x^2)$
提示：注意泰勒展开到一阶项即可，因为 $O(1/n^2)$ 不影响主部。
步骤 2/5
目标：确定通项的主部
由上述展开，$u_n \sim \frac{\ln\sqrt{ab} - \ln c}{n}$ 当 $n\to\infty$。即 $u_n$ 与 $\frac{k}{n}$ 同阶，其中 $k = \ln\sqrt{ab} - \ln c$。
公式：$u_n \sim \frac{k}{n}$
提示：注意 $\sim$ 表示等价无穷小，即 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{k/n}=1$。
步骤 3/5
目标：应用比较判别法
由于 $u_n$ 与 $\frac{k}{n}$ 同阶，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，因此当 $k \neq 0$ 时，$\sum u_n$ 发散（因为 $u_n$ 与 $\frac{k}{n}$ 同号且绝对值与 $1/n$ 同阶）。当 $k=0$ 时，$u_n = O(1/n^2)$，此时级数绝对收敛。
公式：比较判别法：若 $u_n \sim \frac{C}{n}$ 且 $C \neq 0$，则 $\sum u_n$ 发散；若 $u_n = O(1/n^2)$，则收敛。
提示：注意 $k=0$ 时 $u_n$ 是 $O(1/n^2)$，因为 $O(1/n^2)$ 项是收敛的。
步骤 4/5
目标：求解收敛条件
令 $k = \ln\sqrt{ab} - \ln c = 0$，即 $\ln\sqrt{ab} = \ln c$，所以 $\sqrt{ab} = c$。因此级数收敛当且仅当 $c = \sqrt{ab}$。
公式：$\sqrt{ab} = c$
提示：注意 $a,b,c>0$，所以对数有意义。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上所述，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}-c^{1/n}\right)$ 收敛当且仅当 $c = \sqrt{ab}$，否则发散。
提示：注意当 $c=\sqrt{ab}$ 时，级数绝对收敛。
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