安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
十，（15 分）设 $\displaystyle u=\ln (x+y)$ ，求 $\displaystyle d^{2015} u$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量代换与一阶微分
令 $v = x+y$，则 $u = \ln v$。对 $u$ 求一阶微分：
$$du = \frac{1}{v} dv = \frac{1}{x+y} d(x+y) = \frac{1}{x+y} (dx+dy).$$
公式：$d(\ln v) = \frac{1}{v} dv$
提示：注意 $d(x+y) = dx+dy$，不要遗漏微分算子。
步骤 2/6
目标：二阶微分计算
对 $du$ 再求微分：
$$d^2u = d\left(\frac{1}{x+y}\right) \wedge (dx+dy) + \frac{1}{x+y} \wedge d^2(x+y).$$
由于 $d^2(x+y)=0$，且 $d\left(\frac{1}{x+y}\right) = -\frac{1}{(x+y)^2} d(x+y) = -\frac{1}{(x+y)^2}(dx+dy)$，代入得：
$$d^2u = -\frac{1}{(x+y)^2} (dx+dy) \wedge (dx+dy).$$
公式：$d\left(\frac{1}{v}\right) = -\frac{1}{v^2} dv$
提示：注意外积的反对称性：$(dx+dy)\wedge(dx+dy)=0$。
步骤 3/6
目标：二阶微分化简
由于 $(dx+dy)\wedge(dx+dy)=0$，因此 $d^2u = 0$。
公式：$\omega \wedge \omega = 0$ 对于任意1-形式 $\omega$
提示：外积中相同因子的楔积为零。
步骤 4/6
目标：高阶微分规律
对于 $n \ge 2$，$d^n u = 0$。因为 $du = \frac{1}{x+y}(dx+dy)$，其系数 $\frac{1}{x+y}$ 的微分仍包含因子 $dx+dy$，而 $(dx+dy)\wedge(dx+dy)=0$，所以所有高阶微分均为零。
提示：注意高阶微分定义：$d^n u = d(d^{n-1}u)$，且每次微分都会引入一个 $(dx+dy)$ 因子。
步骤 5/6
目标：应用至2015阶微分
由于 $2015 \ge 2$，根据上述规律，$d^{2015} u = 0$。
提示：不要忘记验证阶数是否大于等于2。
步骤 6/6
目标：最终答案
因此，$d^{2015} u = 0$。
提示：最终结果简洁，但需确保推导过程正确。
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