安徽师范大学 2015年数学分析第0题

观察曲面积分的形式：\(\iint_{\Sigma} x^{2} dy dz + y^{2} dz dx + z^{2} dx dy\)，其中\(\Sigma\)是封闭曲面（球面外侧），因此可以使用高斯公式。高斯公式将曲面积分转化为三重积分：\(\iint_{\Sigma} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV\)。这里\(P = x^2, Q = y^2, R = z^2\)。

计算散度：\(\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x\)，\(\frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y\)，\(\frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z\)，所以散度为\(2x + 2y + 2z = 2(x+y+z)\)。因此曲面积分转化为三重积分：\(\iiint_{\Omega} 2(x+y+z) dV\)，其中\(\Omega\)是球体\((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \leq 1\)。

为了简化积分，作平移变换：令\(u = x-1, v = y-1, w = z-1\)，则\(x = u+1, y = v+1, z = w+1\)，且\(x+y+z = u+v+w+3\)。变换后积分区域\(\Omega\)变为球体\(u^2+v^2+w^2 \leq 1\)，雅可比行列式为1，因此三重积分变为：\(\iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} 2(u+v+w+3) du dv dw\)。

由于积分区域关于原点对称，且被积函数中的\(u, v, w\)是奇函数，所以\(\iiint u dv = \iiint v dv = \iiint w dv = 0\)。因此积分简化为：\(2 \iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} 3 du dv dw = 6 \iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} du dv dw\)。

球体\(u^2+v^2+w^2 \leq 1\)的体积为\(\frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi\)。因此\(\iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} du dv dw = \frac{4}{3}\pi\)。

将体积代入：\(6 \times \frac{4}{3}\pi = 8\pi\)。因此原曲面积分的值为\(8\pi\)。