安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
八，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|\left(2+\cos \frac{1}{x}\right)$ 的值域．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定定义域
函数 $f(x)=|x|\left(2+\cos\frac{1}{x}\right)$ 中，分母 $x$ 出现在 $\cos\frac{1}{x}$ 中，因此 $x\neq 0$。定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
提示：注意 $x=0$ 处无定义，值域中不含 $0$。
步骤 2/7
目标：分析函数值的范围
由于 $\cos\frac{1}{x}\in[-1,1]$，所以 $2+\cos\frac{1}{x}\in[1,3]$。因此 $f(x)=|x|\cdot(2+\cos\frac{1}{x})\in[|x|, 3|x|]$。
公式：$2+\cos\frac{1}{x}\in[1,3]$
提示：注意 $|x|$ 非负，所以 $f(x)\geq 0$，但 $f(x)$ 可能取到任意小的正数。
步骤 3/7
目标：考察 $x\to 0$ 时的趋势
当 $x\to 0$ 时，$|x|\to 0$，而 $2+\cos\frac{1}{x}$ 有界，故 $f(x)\to 0$。但 $x=0$ 不在定义域内，所以 $0$ 不在值域中。
公式：$\lim_{x\to 0}f(x)=0$
提示：极限为 $0$ 但取不到 $0$，值域下界为 $0$ 但不包含 $0$。
步骤 4/7
目标：考察 $x\to \infty$ 时的趋势
当 $x\to \infty$ 时，$|x|\to \infty$，而 $2+\cos\frac{1}{x}\geq 1$，故 $f(x)\to \infty$，函数无上界。
公式：$\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$
提示：函数值可以任意大。
步骤 5/7
目标：构造序列证明值域包含所有正数
取 $x_n=\frac{1}{2n\pi}$，则 $\cos\frac{1}{x_n}=\cos(2n\pi)=1$，$f(x_n)=\frac{1}{2n\pi}\cdot 3=\frac{3}{2n\pi}\to 0$。取 $x_n'=\frac{1}{(2n+1)\pi}$，则 $\cos\frac{1}{x_n'}=\cos((2n+1)\pi)=-1$，$f(x_n')=\frac{1}{(2n+1)\pi}\cdot 1=\frac{1}{(2n+1)\pi}\to 0$。因此 $f(x)$ 可以取到任意接近 $0$ 的正数。
公式：$f\left(\frac{1}{2n\pi}\right)=\frac{3}{2n\pi}$，$f\left(\frac{1}{(2n+1)\pi}\right)=\frac{1}{(2n+1)\pi}$
提示：利用余弦函数的周期性构造序列，使 $f(x)$ 取到特定值。
步骤 6/7
目标：利用连续性证明值域为 $(0,+\infty)$
函数 $f(x)$ 在 $x\neq 0$ 上连续。对于任意 $y>0$，存在 $x_1$ 使得 $f(x_1)y$（例如取 $x_2$ 充分大）。由介值定理，存在 $x$ 介于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间使得 $f(x)=y$。因此值域为 $(0,+\infty)$。
公式：介值定理
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，但区间内连续。
步骤 7/7
目标：总结值域
综上所述，函数 $f(x)=|x|\left(2+\cos\frac{1}{x}\right)$ 的值域为 $(0,+\infty)$。
提示：值域是开区间，不包含 $0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。