安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
七，（10 分）考察 $\displaystyle f(x)=x^{x}$ 的凹凸性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定定义域
函数 $f(x)=x^x$ 中，底数 $x$ 必须为正数，因此定义域为 $x>0$。
提示：注意 $x^x$ 在 $x\leq 0$ 时通常无定义或为复数，故只考虑 $x>0$。
步骤 2/6
目标：取对数简化求导
对 $f(x)=x^x$ 两边取自然对数：$\ln f(x) = x \ln x$。
公式：$\ln f(x) = x \ln x$
提示：取对数后要注意 $f(x)>0$，在定义域内成立。
步骤 3/6
目标：求一阶导数
对 $\ln f(x) = x \ln x$ 两边求导：$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln x + 1$，所以 $f'(x) = f(x)(\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$。
公式：$f'(x) = x^x (\ln x + 1)$
提示：注意使用隐函数求导法则，不要忘记乘以 $f(x)$。
步骤 4/6
目标：求二阶导数
对 $f'(x) = x^x (\ln x + 1)$ 求导，使用乘积法则：$f''(x) = \frac{d}{dx}[x^x] (\ln x + 1) + x^x \cdot \frac{1}{x}$。而 $\frac{d}{dx}[x^x] = x^x (\ln x + 1)$，代入得 $f''(x) = x^x (\ln x + 1)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x \left[ (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right]$。
公式：$f''(x) = x^x \left[ (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right]$
提示：注意 $\frac{d}{dx}[x^x]$ 的结果，避免直接对 $x^x$ 求导出错。
步骤 5/6
目标：分析二阶导数符号
由于 $x^x > 0$ 对所有 $x>0$ 成立，$f''(x)$ 的符号由 $g(x) = (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x}$ 决定。对于 $x>0$，$(\ln x + 1)^2 \geq 0$，$\frac{1}{x} > 0$，因此 $g(x) > 0$ 恒成立，从而 $f''(x) > 0$。
公式：$g(x) = (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} > 0$
提示：注意 $(\ln x + 1)^2$ 非负，$\frac{1}{x}$ 为正，两者之和恒正。
步骤 6/6
目标：得出凹凸性结论
因为 $f''(x) > 0$ 对所有 $x>0$ 成立，所以函数 $f(x)=x^x$ 在 $(0, +\infty)$ 上是凹函数（即下凸函数）。
提示：凹凸性定义：二阶导数大于0为凹（下凸），小于0为凸（上凸）。
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