安徽师范大学 2015年数学分析第0题

数列的项按分母 $n$ 从小到大排列，$n$ 从 $2$ 开始，对于每个 $n$，分子 $k$ 从 $1$ 到 $n-1$ 依次排列。因此数列为：$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \cdots$。所有项都是 $(0,1)$ 内的有理数，且每个有理数出现无穷多次（例如 $\frac{1}{2}$ 出现在 $n=2,4,6,\dots$ 中）。

导集是数列所有聚点的集合。一个点 $x$ 是数列的聚点，当且仅当存在一个子列收敛到 $x$，等价于：对任意 $\varepsilon > 0$，数列中有无穷多项落在 $(x-\varepsilon, x+\varepsilon)$ 内。

任取 $x \in [0,1]$ 和 $\varepsilon > 0$。由有理数的稠密性，存在有理数 $\frac{k}{n} \in (x-\varepsilon, x+\varepsilon)$，且 $n$ 充分大。由于数列包含所有形如 $\frac{k}{n}$ 的有理数（$n \geq 2, 1 \leq k \leq n-1$），并且当 $n$ 增大时，$\frac{k}{n}$ 可以任意接近 $x$（例如取 $k = \lfloor nx \rfloor$ 或 $\lceil nx \rceil$），因此存在无穷多个这样的 $\frac{k}{n}$ 落在邻域内，故 $x$ 是聚点。特别地，$0$ 可由 $\frac{1}{n}$ 逼近，$1$ 可由 $\frac{n-1}{n}$ 逼近。

数列的所有项都在 $(0,1)$ 内，因此任何聚点必然属于 $[0,1]$ 的闭包，即 $[0,1]$。因为若 $x<0$，取 $\varepsilon = -x/2 > 0$，则 $(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subset (-\infty,0)$，而数列中无负数项，故不可能有无穷多项；同理，若 $x>1$，取 $\varepsilon = (x-1)/2$，则邻域内无大于1的项。所以聚点只能落在 $[0,1]$ 内。

由以上两步，数列的聚点集恰好是 $[0,1]$ 中的所有点，即导集为闭区间 $[0,1]$。