安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
九，（18 分）轮船行驶一昼夜的成本由固定成本 a 和可变成本构成，可变成本与速度的立方成正比，试求轮船的经济速度。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立总成本函数
设轮船速度为 $v$（单位：km/h），一昼夜（24小时）行驶的距离为 $s = 24v$（单位：km）。固定成本为 $a$，可变成本与速度的立方成正比，设比例系数为 $k$，则一昼夜的可变成本为 $k v^3$。因此一昼夜的总成本为 $C = a + k v^3$。
公式：C = a + k v^3
提示：注意单位：速度单位是km/h，时间单位是小时，距离单位是km。比例系数k为正数。
步骤 2/6
目标：定义单位距离成本
轮船的经济速度是指使单位距离成本最小的速度。单位距离成本为总成本除以行驶距离：$c(v) = \frac{C}{s} = \frac{a + k v^3}{24v} = \frac{a}{24v} + \frac{k v^2}{24}$。
公式：c(v) = \frac{a}{24v} + \frac{k v^2}{24}
提示：注意将总成本除以距离，得到单位距离成本。
步骤 3/6
目标：求导并令导数为零
对 $c(v)$ 关于 $v$ 求导：$c'(v) = -\frac{a}{24v^2} + \frac{2k v}{24} = -\frac{a}{24v^2} + \frac{k v}{12}$。令 $c'(v) = 0$，得 $-\frac{a}{24v^2} + \frac{k v}{12} = 0$。
公式：c'(v) = -\frac{a}{24v^2} + \frac{k v}{12}
提示：求导时注意幂函数求导法则：$(v^{-1})' = -v^{-2}$，$(v^2)' = 2v$。
步骤 4/6
目标：解方程求临界点
由 $-\frac{a}{24v^2} + \frac{k v}{12} = 0$ 得 $\frac{k v}{12} = \frac{a}{24v^2}$，两边乘以 $24v^2$ 得 $2k v^3 = a$，即 $k v^3 = \frac{a}{2}$，所以 $v^3 = \frac{a}{2k}$，解得 $v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}$。
公式：v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}
提示：注意解方程时两边同乘 $24v^2$ 要确保 $v>0$。
步骤 5/6
目标：判断极值类型
由于 $v>0$，当 $v < \sqrt[3]{a/(2k)}$ 时，$c'(v) < 0$；当 $v > \sqrt[3]{a/(2k)}$ 时，$c'(v) > 0$。因此 $v = \sqrt[3]{a/(2k)}$ 是极小值点，即经济速度。
提示：可以通过二阶导数或一阶导数符号判断极值类型。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
轮船的经济速度为 $v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}$。
公式：v = \sqrt[3]{\frac{a}{2k}}
提示：答案中应包含参数a和k，注意开立方根。
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