安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
六，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ 的导数
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别函数结构
函数 $f(x)=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ 由三项组成，每一项都是指数函数的复合。第一项是简单指数函数，第二项是 $e^x$ 的指数，第三项是 $e^{e^x}$ 的指数。
提示：注意区分不同层次的指数复合，避免混淆内外函数。
步骤 2/7
目标：求第一项的导数
第一项 $e^{x}$ 的导数为 $e^{x}$，因为 $\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$。
公式：$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$
提示：这是基本导数公式，直接应用即可。
步骤 3/7
目标：求第二项的导数
第二项 $e^{e^{x}}$ 是复合函数，外层为 $e^{u}$，内层 $u=e^{x}$。由链式法则：$\frac{d}{dx}e^{e^{x}} = e^{e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}e^{x} = e^{e^{x}} \cdot e^{x} = e^{x}e^{e^{x}}$。
公式：$\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}\frac{du}{dx}$
提示：注意链式法则的应用：先对外层求导，再乘以内层导数。
步骤 4/7
目标：求第三项的导数
第三项 $e^{e^{e^{x}}}$ 是三层复合函数。设 $v=e^{e^{x}}$，则 $e^{v}$，$v$ 又是 $e^{u}$，$u=e^{x}$。由链式法则：$\frac{d}{dx}e^{e^{e^{x}}} = e^{e^{e^{x}}} \cdot \frac{d}{dx}e^{e^{x}} = e^{e^{e^{x}}} \cdot e^{e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}e^{x} = e^{e^{e^{x}}} \cdot e^{e^{x}} \cdot e^{x} = e^{x}e^{e^{x}}e^{e^{e^{x}}}$。
公式：链式法则：$\frac{d}{dx}f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$
提示：逐层求导，不要遗漏任何一层。注意指数函数的导数仍是自身。
步骤 5/7
目标：合并各项导数
将三项导数相加：$f'(x) = e^{x} + e^{x}e^{e^{x}} + e^{x}e^{e^{x}}e^{e^{e^{x}}}$。
提示：确保每一项都正确求导后再合并。
步骤 6/7
目标：提取公因式简化
提取公因式 $e^{x}$：$f'(x) = e^{x}\left(1 + e^{e^{x}} + e^{e^{x}}e^{e^{e^{x}}}\right)$。注意 $e^{e^{x}}e^{e^{e^{x}}} = e^{e^{x}+e^{e^{x}}}$，因此也可写为 $f'(x)=e^{x}\left(1+e^{e^{x}}+e^{e^{x}+e^{e^{x}}}\right)$。
公式：$a^m a^n = a^{m+n}$
提示：指数相加时注意底数相同才能合并。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，函数 $f(x)=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ 的导数为：$$f'(x)=e^{x}\left(1+e^{e^{x}}+e^{e^{x}+e^{e^{x}}}\right).$$
提示：最终答案可以保留提取公因式的形式，也可以写成乘积形式。
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