安徽师范大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入对数变换
令 $a_n = \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$，则 $\ln a_n = \ln n - \frac{1}{n} \ln(n!)$。由于 $\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k$，所以 $\ln a_n = \ln n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k$。
公式：$\ln a_n = \ln n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k$
提示：注意对数运算性质：$\ln\sqrt[n]{n!} = \frac{1}{n}\ln(n!)$。
步骤 2/6
目标：将求和转化为积分形式
将求和改写为：$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{k}{n} \cdot n\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n} + \ln n$。代入得 $\ln a_n = \ln n - \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n} + \ln n \right) = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n}$。
公式：$\ln a_n = -\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n}$
提示：注意 $\ln(k/n \cdot n) = \ln(k/n) + \ln n$，不要遗漏 $\ln n$ 项。
步骤 3/6
目标：利用定积分定义求极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n}$ 是函数 $\ln x$ 在区间 $(0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1 \ln x \, dx$。计算该瑕积分：$\int_0^1 \ln x \, dx = \left[ x\ln x - x \right]_0^1 = (0-1) - \lim_{x\to 0^+} (x\ln x - x) = -1$（因为 $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$）。
公式：$\int_0^1 \ln x \, dx = -1$
提示：注意 $\ln x$ 在 $x=0$ 处发散，但瑕积分收敛，需用极限处理。
步骤 4/6
目标：得到对数极限
因此 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n} = -1$，从而 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = -(-1) = 1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 1$
提示：注意负号的处理。
步骤 5/6
目标：还原原数列极限
由 $\ln a_n \to 1$ 及指数函数的连续性得 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^1 = e$。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = e$
提示：指数函数连续，所以极限可以交换。
步骤 6/6
目标：结论
数列 $\left\{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收敛，极限为 $e$。
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