安徽师范大学 2016年数学分析第0题

观察到极限表达式为 $1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$，注意第一项1实际上是$\frac{1}{0!}$，因为$0!=1$。因此该级数为$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$的前n+1项和。

自然常数e的级数展开为$e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$。因此当$n\to\infty$时，部分和$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$趋于e。

因此，$\lim_{n\to\infty}\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) = e$。

设$f(x)=\arctan x$，则$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$。

考虑$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i}\right)$。则$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2i}\left(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{x-i} - \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{x+i}\right)$。利用$\frac{d^{k}}{dx^{k}}\frac{1}{x-a} = \frac{(-1)^k k!}{(x-a)^{k+1}}$，可得$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{2i}\left(\frac{1}{(x-i)^n} - \frac{1}{(x+i)^n}\right)$。

将复数形式转化为三角函数：令$x = \cot\theta$，则$\theta = \arctan\frac{1}{x}$。那么$x\pm i = \frac{e^{\pm i\theta}}{\sin\theta}$，因此$(x\pm i)^n = \frac{e^{\pm i n\theta}}{\sin^n\theta}$。代入得$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{2i}\sin^n\theta(e^{-i n\theta} - e^{i n\theta}) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{2i}\sin^n\theta \cdot (-2i\sin(n\theta)) = (-1)^{n-1}(n-1)!\sin^n\theta \sin(n\theta)$。由于$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$，$\theta = \arctan\frac{1}{x}$，所以$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x^2)^{n/2}} \sin\left(n\arctan\frac{1}{x}\right)$。

当$x=0$时，$\arctan x$的n阶导数可通过泰勒展开或极限得到：$\arctan x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}$，因此$\frac{d^n}{dx^n}\arctan x\big|_{x=0}$在n为偶数时为0，n为奇数时为$(-1)^{(n-1)/2}(n-1)!$。