📝 安徽师范大学 2016年数学分析真题

一，（18 分）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$
（2）$\displaystyle \frac{d^{n}}{d x^{n}}(\arctan x)$

七，（10 分）设 $\displaystyle x>0, y>0, \beta>\alpha>0$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{\alpha}+y^{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}}>\left(x^{\beta}+y^{\beta}\right)^{\frac{1}{\beta}}$ 。

三，（10 分）判断数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 的玫散性，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}\right)$ ．

九，（15 分）求摆线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的曲率半径．

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n-1}{n+1} \cos \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \varliminf_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．

五，（15 分）考查函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle [0, \pi)$ 上的一致连续性．

八，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{\frac{1}{x}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处的各阶导数．

六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ ．

十，（10 分）求内摆线 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 所围图形面积．

十一，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(\left(1-x^{2}\right) y\right)}{y} d y$ 间断点的类型．

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{d y d z}{x}+\frac{d z d x}{y}+\frac{d x d y}{z}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外表面．

四，（10 分）若严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=a$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ．