安徽师范大学 2016年数学分析第0题

题目给出的是封闭曲面（椭球面外侧）上的第二类曲面积分： \[ \iint_{\Sigma} \frac{dy\,dz}{x}+\frac{dz\,dx}{y}+\frac{dx\,dy}{z} \] 对照高斯公式形式： \[ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \] 可得： \[ P = \frac{1}{x},\quad Q = \frac{1}{y},\quad R = \frac{1}{z} \] 计算散度： \[ \frac{\partial P}{\partial x} = -\frac{1}{x^2},\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -\frac{1}{y^2},\quad \frac{\partial R}{\partial z} = -\frac{1}{z^2} \] 散度和为： \[ -\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \] 由于原点在椭球内部，而 $1/x^2$ 等在原点附近发散太强（三维中不可积），因此不能直接对整个椭球区域使用高斯公式。

令线性变换： \[ x = a u,\quad y = b v,\quad z = c w \] 则椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 变为单位球面 $u^2+v^2+w^2=1$，外侧对应外侧。 计算面积元变换（第二类曲面积分需考虑方向）： - 对于 $dy\,dz$：$y=bv,\,z=cw$，雅可比行列式为 $\begin{vmatrix} b & 0 \\ 0 & c \end{vmatrix}=bc$，且变换保持定向，故 $dy\,dz = bc\,dv\,dw$。 - 同理：$dz\,dx = ca\,dw\,du$，$dx\,dy = ab\,du\,dv$。 被积函数分母变换： \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{a u},\quad \frac{1}{y} = \frac{1}{b v},\quad \frac{1}{z} = \frac{1}{c w} \] 原积分化为： \[ \iint_{S^2} \frac{bc}{a u} dv\,dw + \frac{ca}{b v} dw\,du + \frac{ab}{c w} du\,dv \]

在单位球面 $u^2+v^2+w^2=1$ 上，外侧法向方向余弦为 $(u,v,w)$。第二类曲面积分中的投影面积元与球面面积元 $dS$ 的关系为： \[ dv\,dw = u\,dS,\quad dw\,du = v\,dS,\quad du\,dv = w\,dS \] 代入积分式： \[ \iint_{S^2} \frac{bc}{a u} \cdot u\,dS + \frac{ca}{b v} \cdot v\,dS + \frac{ab}{c w} \cdot w\,dS \] 化简得： \[ \iint_{S^2} \left( \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \right) dS \] 被积函数为常数。

单位球面 $S^2$ 的面积为 $4\pi$。因此积分结果为： \[ \left( \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \right) \cdot 4\pi \] 即： \[ \boxed{4\pi \left( \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \right)} \] 此结果通过变量替换和对称性避免了奇点问题，因为分母变量与投影因子恰好抵消，使被积函数成为常数。