安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n-1}{n+1} \cos \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \varliminf_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析周期性和子列
由于 $\cos \frac{2n\pi}{3}$ 以3为周期，将 $n$ 按模3分类：
- 当 $n=3k$ 时，$\cos(2k\pi)=1$，$x_{3k} = \frac{3k-1}{3k+1}$。
- 当 $n=3k+1$ 时，$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)=-\frac12$，$x_{3k+1} = -\frac12 \cdot \frac{3k}{3k+2}$。
- 当 $n=3k+2$ 时，$\cos\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)=-\frac12$，$x_{3k+2} = -\frac12 \cdot \frac{3k+1}{3k+3}$。
其中 $k=0,1,2,\ldots$。
公式：\cos\frac{2n\pi}{3} = \begin{cases} 1, & n=3k \\ -\frac12, & n=3k+1 \\ -\frac12, & n=3k+2 \end{cases}
提示：注意 $n$ 从1开始，$k$ 从0开始，但 $n=0$ 不在数列中。
步骤 2/7
目标：分析子列 $x_{3k}$ 的单调性和范围
$x_{3k} = \frac{3k-1}{3k+1} = 1 - \frac{2}{3k+1}$，随 $k$ 增大而增大。$k=1$ 时 $x_3 = \frac{2}{4}=0.5$，$k\to\infty$ 时 $x_{3k} \to 1$。因此该子列取值在 $[0.5, 1)$ 内，上确界为1（取不到），下确界为0.5（$k=1$ 时取得）。
公式：x_{3k} = 1 - \frac{2}{3k+1}
提示：注意 $k=0$ 对应 $n=0$，不在数列中，所以最小值从 $k=1$ 开始。
步骤 3/7
目标：分析子列 $x_{3k+1}$ 的单调性和范围
$x_{3k+1} = -\frac12 \cdot \frac{3k}{3k+2} = -\frac12 \left(1 - \frac{2}{3k+2}\right)$，随 $k$ 增大而增大（从负值趋于 $-\frac12$）。$k=0$ 时 $x_1 = 0$，$k=1$ 时 $x_4 = -0.3$，$k\to\infty$ 时 $x_{3k+1} \to -\frac12$。因此该子列取值在 $(-\frac12, 0]$ 内，上确界为0（$k=0$ 时取得），下确界为 $-\frac12$（取不到）。
公式：x_{3k+1} = -\frac12 \left(1 - \frac{2}{3k+2}\right)
提示：注意 $k=0$ 时 $x_1=0$ 是子列最大值。
步骤 4/7
目标：分析子列 $x_{3k+2}$ 的单调性和范围
$x_{3k+2} = -\frac12 \cdot \frac{3k+1}{3k+3} = -\frac12 \left(1 - \frac{2}{3k+3}\right)$，随 $k$ 增大而增大。$k=0$ 时 $x_2 = -\frac16 \approx -0.1667$，$k=1$ 时 $x_5 = -\frac13 \approx -0.3333$，$k\to\infty$ 时 $x_{3k+2} \to -\frac12$。因此该子列取值在 $(-\frac12, -\frac16]$ 内，上确界为 $-\frac16$（$k=0$ 时取得），下确界为 $-\frac12$（取不到）。
公式：x_{3k+2} = -\frac12 \left(1 - \frac{2}{3k+3}\right)
提示：注意 $x_2$ 是子列最大值。
步骤 5/7
目标：求整个数列的上确界和下确界
比较三个子列的值域：
- $x_{3k}$ 取值 $[0.5, 1)$，最大接近1，最小0.5。
- $x_{3k+1}$ 取值 $(-\frac12, 0]$，最大0，最小接近 $-\frac12$。
- $x_{3k+2}$ 取值 $(-\frac12, -\frac16]$，最大 $-\frac16$，最小接近 $-\frac12$。
整个数列的最大值出现在 $x_{3k}$ 子列，但无最大值，上确界为1（取不到）。最小值出现在负值子列，下确界为 $-\frac12$（取不到，因为所有项都大于 $-\frac12$）。
提示：注意上确界和下确界可能取不到，需说明。
步骤 6/7
目标：求上极限和下极限
考虑三个子列的极限：
- $\lim_{k\to\infty} x_{3k} = 1$。
- $\lim_{k\to\infty} x_{3k+1} = -\frac12$。
- $\lim_{k\to\infty} x_{3k+2} = -\frac12$。
因此上极限为1，下极限为 $-\frac12$。
公式：\varlimsup_{n\to\infty} x_n = 1, \quad \varliminf_{n\to\infty} x_n = -\frac12
提示：上极限是子列极限的最大值，下极限是最小值。
步骤 7/7
目标：整理最终答案
综上，
\[
\inf\{x_n\} = -\frac12, \quad \sup\{x_n\} = 1, \quad \varliminf_{n\to\infty} x_n = -\frac12, \quad \overline{\lim}_{n\to\infty} x_n = 1.
\]
提示：注意上下确界与上下极限的区别：上下确界是整体范围，上下极限是极限点。
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