安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
三，（10 分）判断数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 的玫散性，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别数列与调和级数的关系
数列 $\left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的部分和数列，记 $S_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$。
公式：S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
提示：注意区分数列与级数：数列是部分和构成的序列，级数是无穷和。
步骤 2/5
目标：判断调和级数的敛散性
调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的，因此其部分和数列 $\{S_n\}$ 发散，极限不存在（或为无穷大）。
提示：调和级数发散是经典结论，需牢记。
步骤 3/5
目标：利用分组法证明发散性
考虑子列 $S_{2^k}$，将项分组：
$$
\begin{aligned}
S_{2^k} &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right) \\
&\geq 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right) \\
&= 1 + \frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{4} + 4\cdot\frac{1}{8} + \cdots + 2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^k} \\
&= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2} \quad (k \text{ 个 } \frac{1}{2}) \\
&= 1 + \frac{k}{2}.
\end{aligned}
$$
公式：S_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}
提示：分组时注意每组的项数：第 $j$ 组有 $2^{j-1}$ 项，每项缩小为 $\frac{1}{2^j}$。
步骤 4/5
目标：由子列发散推出数列发散
当 $k \to \infty$ 时，$S_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2} \to \infty$，因此子列 $\{S_{2^k}\}$ 无界，从而原数列 $\{S_n\}$ 无界，故发散。
提示：数列发散的定义：存在子列发散到无穷，或数列无界。
步骤 5/5
目标：得出极限结论
由于数列发散且单调递增（每一项为正），极限为 $+\infty$，即
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) = +\infty.
$$
提示：单调递增数列若有上界则收敛，否则发散到正无穷。
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