安徽师范大学 2016年数学分析第0题

内摆线 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，因此所围图形面积 $S$ 等于第一象限面积的4倍。在第一象限内，$x \geq 0, y \geq 0$。

令 $x = a \cos^3 t$, $y = a \sin^3 t$，其中 $t \in [0, 2\pi)$。第一象限对应 $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$。

第一象限面积 $S_1 = \int_{x=0}^{a} y \, dx$。由参数方程，$dx = -3a \cos^2 t \sin t \, dt$。当 $x$ 从 $0$ 到 $a$ 时，$t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$。因此 $S_1 = \int_{t=\frac{\pi}{2}}^{0} a \sin^3 t \cdot (-3a \cos^2 t \sin t) \, dt = 3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt$。

利用三角恒等式化简 $\sin^4 t \cos^2 t$。首先 $\sin^4 t \cos^2 t = \sin^2 t \cdot (\sin^2 t \cos^2 t) = \sin^2 t \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2t = \frac{1}{4} \sin^2 t \sin^2 2t$。再 $\sin^2 2t = \frac{1-\cos 4t}{2}$，得 $\frac{1}{4} \sin^2 t \cdot \frac{1-\cos 4t}{2} = \frac{1}{8} \sin^2 t (1-\cos 4t)$。又 $\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$，得 $\frac{1}{8} \cdot \frac{1-\cos 2t}{2} (1-\cos 4t) = \frac{1}{16} (1-\cos 2t)(1-\cos 4t)$。展开并利用积化和差：$(1-\cos 2t)(1-\cos 4t) = 1 - \cos 2t - \cos 4t + \cos 2t \cos 4t$，而 $\cos 2t \cos 4t = \frac{1}{2}[\cos(6t) + \cos(2t)]$，代入得 $1 - \frac{1}{2}\cos 2t - \cos 4t + \frac{1}{2}\cos 6t$。因此 $\sin^4 t \cos^2 t = \frac{1}{16} \left(1 - \frac{1}{2}\cos 2t - \cos 4t + \frac{1}{2}\cos 6t\right)$。

计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt = \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 - \frac{1}{2}\cos 2t - \cos 4t + \frac{1}{2}\cos 6t\right) dt$。由于 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos kt \, dt = \frac{1}{k} \sin kt \big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 0$（$k$ 为非零整数），所以积分值为 $\frac{1}{16} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{32}$。

第一象限面积 $S_1 = 3a^2 \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{3\pi a^2}{32}$。总面积 $S = 4S_1 = \frac{3\pi a^2}{8}$。