安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入恒等式
利用三角恒等式 $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$，将通项改写为：
$$\frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n} = \frac{1}{2^n} \left( \cot \frac{x}{2^n} - 2 \cot \frac{x}{2^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{x}{2^{n-1}}.$$
公式：\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta
提示：注意恒等式中的系数和角度变换，确保正确应用。
步骤 2/6
目标：写出部分和
设 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n}$，代入改写后的表达式：
$$S_N(x) = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{x}{2^{n-1}} \right).$$
提示：注意求和指标从n=1到N。
步骤 3/6
目标：裂项相消
观察相邻项，发现可以裂项相消：
$$S_N(x) = \left( \frac{1}{2^1} \cot \frac{x}{2^1} - \frac{1}{2^{0}} \cot \frac{x}{2^{0}} \right) + \left( \frac{1}{2^2} \cot \frac{x}{2^2} - \frac{1}{2^{1}} \cot \frac{x}{2^{1}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2^N} \cot \frac{x}{2^N} - \frac{1}{2^{N-1}} \cot \frac{x}{2^{N-1}} \right).$$
中间项全部抵消，只剩下：
$$S_N(x) = \frac{1}{2^N} \cot \frac{x}{2^N} - \cot x.$$
提示：注意第一项中 $\frac{1}{2^{0}} \cot \frac{x}{2^{0}} = \cot x$。
步骤 4/6
目标：取极限
当 $N \to \infty$ 时，$\frac{x}{2^N} \to 0$。利用等价无穷小：当 $t \to 0$ 时，$\cot t \sim \frac{1}{t}$，因此
$$\frac{1}{2^N} \cot \frac{x}{2^N} \sim \frac{1}{2^N} \cdot \frac{2^N}{x} = \frac{1}{x}.$$
所以
$$S(x) = \lim_{N \to \infty} S_N(x) = \frac{1}{x} - \cot x.$$
公式：\cot t \sim \frac{1}{t} \quad (t \to 0)
提示：注意极限过程中x不能为0，否则分母为0；且x不能为kπ，否则cot x无定义。
步骤 5/6
目标：处理特殊情况
当 $x=0$ 时，原级数每一项为 $\frac{1}{2^n} \tan 0 = 0$，所以 $S(0)=0$。而公式 $\frac{1}{x} - \cot x$ 在 $x=0$ 处无定义，但极限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \cot x \right) = 0$，因此可补充定义 $S(0)=0$。
当 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$ 且 $k \neq 0$）时，$\cot x$ 无定义，原级数发散，因此公式不适用。
提示：注意x=0时需单独处理，且x不能为kπ（k≠0）。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
综上所述，级数的和为：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}} = \frac{1}{x} - \cot x, \quad x \neq k\pi\ (k \in \mathbb{Z}), \text{ 且 } S(0)=0.$$
提示：最终结果需注明定义域。
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