安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
十一，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(\left(1-x^{2}\right) y\right)}{y} d y$ 间断点的类型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别积分形式
观察积分 $f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin\left((1-x^2)y\right)}{y} dy$，其形式与Dirichlet积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ay)}{y} dy$ 一致，其中 $a=1-x^2$。
提示：注意被积函数中分母为 $y$，分子为正弦函数，积分限从0到无穷，这是典型的Dirichlet积分形式。
步骤 2/8
目标：回忆Dirichlet积分结果
Dirichlet积分的结果为：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ay)}{y} dy = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a)$，其中 $\operatorname{sgn}(a)$ 是符号函数：当 $a>0$ 时为1，$a=0$ 时为0，$a<0$ 时为-1。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ay)}{y} dy = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a)
提示：注意 $a=0$ 时积分值为0，因为被积函数为0。
步骤 3/8
目标：代入参数a
令 $a = 1-x^2$，则 $f(x) = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(1-x^2)$。
提示：注意符号函数依赖于 $1-x^2$ 的正负。
步骤 4/8
目标：分段表示f(x)
根据 $1-x^2$ 的符号，分段写出 $f(x)$：
- 当 $1-x^2 > 0$ 即 $|x|<1$ 时，$\operatorname{sgn}(1-x^2)=1$，$f(x)=\frac{\pi}{2}$；
- 当 $1-x^2 = 0$ 即 $|x|=1$ 时，$\operatorname{sgn}(1-x^2)=0$，$f(x)=0$；
- 当 $1-x^2 < 0$ 即 $|x|>1$ 时，$\operatorname{sgn}(1-x^2)=-1$，$f(x)=-\frac{\pi}{2}$。
提示：注意 $|x|=1$ 时 $x=\pm 1$，函数值为0。
步骤 5/8
目标：确定间断点
分段函数在 $x=\pm 1$ 处发生改变，因此可能的间断点为 $x=1$ 和 $x=-1$。
提示：检查函数定义域内所有分段边界点。
步骤 6/8
目标：分析x=1处的间断类型
在 $x=1$ 处：
- 左极限：$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{\pi}{2}$（因为 $x<1$ 时 $|x|<1$）；
- 右极限：$\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\frac{\pi}{2}$（因为 $x>1$ 时 $|x|>1$）；
- 函数值：$f(1)=0$。
左右极限存在但不相等，因此为跳跃间断点。
提示：注意左极限和右极限的符号不同。
步骤 7/8
目标：分析x=-1处的间断类型
在 $x=-1$ 处：
- 左极限：$\lim_{x\to -1^-} f(x) = -\frac{\pi}{2}$（因为 $x<-1$ 时 $|x|>1$）；
- 右极限：$\lim_{x\to -1^+} f(x) = \frac{\pi}{2}$（因为 $x>-1$ 且 $|x|<1$ 时，注意 $x$ 接近-1但大于-1时 $|x|<1$）；
- 函数值：$f(-1)=0$。
左右极限存在但不相等，因此也为跳跃间断点。
提示：注意在 $x=-1$ 处，左极限对应 $x<-1$，右极限对应 $x>-1$，符号与 $x=1$ 相反。
步骤 8/8
目标：总结间断点类型
因此，$f(x)$ 在 $x=\pm 1$ 处有跳跃间断点，其他点连续。
提示：跳跃间断点要求左右极限存在但不相等。
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