安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
九，（15 分）求摆线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 的曲率半径．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出摆线参数方程
摆线的参数方程为：
$$\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}$$
提示：注意参数t表示滚动角，a是圆的半径。
步骤 2/8
目标：计算一阶导数
对参数方程求导：
$$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a \sin t$$
公式：导数基本公式
提示：注意对t求导时，sin和cos的导数不要混淆。
步骤 3/8
目标：计算二阶导数
继续求导得：
$$\frac{d^2x}{dt^2} = a \sin t, \quad \frac{d^2y}{dt^2} = a \cos t$$
公式：导数基本公式
提示：二阶导数是一阶导数的导数。
步骤 4/8
目标：写出曲率半径公式
对于参数方程，曲率半径公式为：
$$R = \frac{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}{|x'y'' - x''y'|}$$
公式：曲率半径公式
提示：注意分母是绝对值，分子是3/2次方。
步骤 5/8
目标：计算分子中的表达式
计算 $x'^2 + y'^2$：
$$x'^2 + y'^2 = a^2(1-\cos t)^2 + a^2\sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1-\cos t)$$
公式：三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 6/8
目标：计算分母中的表达式
计算 $x'y'' - x''y'$：
$$x'y'' - x''y' = a(1-\cos t) \cdot a\cos t - a\sin t \cdot a\sin t = a^2[(1-\cos t)\cos t - \sin^2 t] = a^2[\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t] = a^2(\cos t - 1) = -a^2(1-\cos t)$$
取绝对值：
$$|x'y'' - x''y'| = a^2(1-\cos t)$$
公式：三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
提示：注意符号，绝对值后为正。
步骤 7/8
目标：代入公式并化简
将分子分母代入曲率半径公式：
$$R = \frac{[2a^2(1-\cos t)]^{3/2}}{a^2(1-\cos t)} = \frac{(2a^2)^{3/2} (1-\cos t)^{3/2}}{a^2(1-\cos t)} = \frac{2^{3/2} a^3 (1-\cos t)^{3/2}}{a^2 (1-\cos t)} = 2^{3/2} a (1-\cos t)^{1/2} = 2\sqrt{2} a \sqrt{1-\cos t}$$
公式：幂运算法则
提示：注意 $(1-\cos t)^{3/2} / (1-\cos t) = (1-\cos t)^{1/2}$。
步骤 8/8
目标：利用半角公式化简最终结果
利用半角公式 $1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，则 $\sqrt{1-\cos t} = \sqrt{2} \left|\sin\frac{t}{2}\right|$。通常 $t \in [0,2\pi]$ 时 $\sin\frac{t}{2} \geq 0$，故：
$$R = 2\sqrt{2} a \cdot \sqrt{2} \sin\frac{t}{2} = 4a \sin\frac{t}{2}$$
公式：半角公式 $1-\cos t = 2\sin^2(t/2)$
提示：注意绝对值处理，根据t的范围确定符号。
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