安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
八，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{\frac{1}{x}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处的各阶导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数定义和可导性
函数 $f(x)=\begin{cases} e^{1/x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处定义为 $0$。由于 $e^{1/x}$ 在 $x\to 0$ 时振荡且无极限，但 $f(0)=0$，需用导数定义判断可导性。
提示：注意分段函数在分段点处的导数必须用定义计算，不能直接求导。
步骤 2/7
目标：计算一阶导数
由导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x}}{x}$。令 $t=1/x$，则 $x\to 0$ 时 $t\to \infty$，极限化为 $\lim_{t\to \infty} t e^{-t}=0$（指数衰减快于多项式增长）。故 $f'(0)=0$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x}}{x}=0$
提示：注意 $x\to 0$ 时 $1/x\to \infty$，$e^{1/x}$ 增长极快，但分母 $x$ 也趋于 $0$，需用变量替换后判断极限。
步骤 3/7
目标：归纳假设：各阶导数在0处为0
假设对于 $k=0,1,\dots,n-1$，有 $f^{(k)}(0)=0$。基础 $n=0$ 时 $f(0)=0$ 成立。
提示：数学归纳法的基础步骤已由定义给出。
步骤 4/7
目标：推导高阶导数的表达式形式
当 $x\neq 0$ 时，$f(x)=e^{1/x}$。通过求导可发现 $f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{1/x}$，其中 $P_n$ 是多项式。例如：$f'(x)=-\frac{1}{x^2}e^{1/x}$，$f''(x)=\left(\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^4}\right)e^{1/x}$。一般地，$P_n$ 可由递推得到。
公式：$f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{1/x}$
提示：注意 $P_n$ 是 $1/x$ 的多项式，次数随 $n$ 增加。
步骤 5/7
目标：利用归纳假设计算n阶导数
由导数定义：$f^{(n)}(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f^{(n-1)}(x)}{x}$（因为 $f^{(n-1)}(0)=0$）。代入 $f^{(n-1)}(x)=P_{n-1}(1/x)e^{1/x}$，得 $\frac{f^{(n-1)}(x)}{x}=\frac{1}{x}P_{n-1}(1/x)e^{1/x}=Q(1/x)e^{1/x}$，其中 $Q(t)=tP_{n-1}(t)$ 也是多项式。
公式：$f^{(n)}(0)=\lim_{x\to 0}Q(1/x)e^{1/x}$
提示：注意 $Q$ 是多项式，且 $1/x\to \infty$。
步骤 6/7
目标：计算极限并完成归纳
令 $t=1/x$，则 $x\to 0$ 时 $t\to \infty$，极限化为 $\lim_{t\to \infty} Q(t) e^{-t}=0$，因为指数函数 $e^{-t}$ 衰减速度远快于任何多项式 $Q(t)$ 的增长。因此 $f^{(n)}(0)=0$。由数学归纳法，对所有 $n\ge 0$，$f^{(n)}(0)=0$。
公式：$\lim_{t\to \infty} Q(t) e^{-t}=0$
提示：此极限是经典结论：指数衰减压倒多项式增长。
步骤 7/7
目标：总结结论
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的任意阶导数均为 $0$，即 $f^{(n)}(0)=0$ 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 成立。
提示：该函数是光滑函数（$C^\infty$）但非解析的典型例子，因为其泰勒级数恒为零，但函数本身非零。
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