安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
四，（10 分）若严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=a$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别已知条件
已知严格单调递增数列 $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $\lim_{n\to\infty} y_n = \infty$，且 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = a$。要求 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}$。
提示：注意 $y_n$ 严格单调递增且趋于无穷，这是应用Stolz定理的条件。
步骤 2/5
目标：回忆Stolz定理
Stolz定理：设 $\{y_n\}$ 严格单调递增且 $\lim_{n\to\infty} y_n = \infty$，若极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$ 存在（有限或无穷），则 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}
提示：Stolz定理是处理 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限的重要工具，类似于离散版本的洛必达法则。
步骤 3/5
目标：验证定理条件
检查条件：$\{y_n\}$ 严格单调递增且趋于无穷，满足定理要求。已知 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = a$ 存在，因此可以直接应用Stolz定理。
提示：确保 $y_n$ 严格单调递增且趋于无穷，否则Stolz定理不适用。
步骤 4/5
目标：应用Stolz定理
由Stolz定理，$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = a$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = a
提示：直接代入已知极限值即可。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，所求极限为 $a$。
提示：注意极限存在且有限，结果就是 $a$。
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