安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
七，（10 分）设 $\displaystyle x>0, y>0, \beta>\alpha>0$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{\alpha}+y^{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}}>\left(x^{\beta}+y^{\beta}\right)^{\frac{1}{\beta}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简不等式形式
令 $t = \frac{\beta}{\alpha} > 1$，则 $\beta = \alpha t$。原不等式等价于
\[
(x^\alpha + y^\alpha)^{1/\alpha} > (x^{\alpha t} + y^{\alpha t})^{1/(\alpha t)}.
\]
两边同时取 $\alpha$ 次幂（$\alpha>0$），得
\[
x^\alpha + y^\alpha > (x^{\alpha t} + y^{\alpha t})^{1/t}.
\]
再两边同时 $t$ 次幂，得
\[
(x^\alpha + y^\alpha)^t > x^{\alpha t} + y^{\alpha t}.
\]
提示：注意幂运算的合法性：$\alpha>0$，$t>1$，所以取幂和开方都是单调递增的，不等号方向不变。
步骤 2/4
目标：变量替换简化表达式
令 $a = x^\alpha > 0$，$b = y^\alpha > 0$，则需证明
\[
(a+b)^t > a^t + b^t, \quad t>1, a,b>0.
\]
提示：注意 $a$ 和 $b$ 都是正数，这是后续证明的基础。
步骤 3/4
目标：构造函数并利用导数证明不等式
考虑函数 $h(u) = (1+u)^t - 1 - u^t$，其中 $u = \frac{b}{a} > 0$。则原不等式等价于 $h(u) > 0$。
计算导数：$h'(u) = t(1+u)^{t-1} - t u^{t-1} = t[(1+u)^{t-1} - u^{t-1}]$。
由于 $t-1 > 0$，且 $1+u > u$，所以 $(1+u)^{t-1} > u^{t-1}$，从而 $h'(u) > 0$。
又 $h(0) = (1+0)^t - 1 - 0^t = 0$，因此对任意 $u>0$，有 $h(u) > 0$。
公式：$h(u) = (1+u)^t - 1 - u^t$
提示：注意 $h(0)=0$ 且 $h'(u)>0$ 只能推出 $h(u)>0$ 对 $u>0$ 成立，但需验证 $h$ 在 $0$ 处连续。
步骤 4/4
目标：结论
由 $h(u)>0$ 得 $(1+u)^t > 1 + u^t$，即 $(a+b)^t > a^t + b^t$。代回原变量，原不等式得证。
提示：注意 $a$ 和 $b$ 的对称性，无需区分大小。
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