安徽师范大学 2016年数学分析第0题
📝 题目
五，（15 分）考查函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle [0, \pi)$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义域与连续性
函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $[0, \pi)$ 上定义，但在 $x=0$ 处无定义。由于 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，因此 $x=0$ 是可去间断点。补充定义 $f(0)=1$ 后，$f(x)$ 在 $[0, \pi)$ 上连续。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
提示：注意 $x=0$ 处原函数无定义，需要补充定义才能讨论连续性。
步骤 2/5
目标：考虑闭区间上的连续性
考虑闭区间 $[0, \pi]$，补充定义后 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续（因为 $f(x)$ 在 $(0, \pi]$ 上连续，且 $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1=f(0)$）。
提示：闭区间端点 $\pi$ 处函数有定义且连续。
步骤 3/5
目标：应用Cantor定理
根据Cantor定理（一致连续性定理），闭区间上的连续函数必一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上一致连续。
提示：Cantor定理要求区间是闭区间，且函数连续。
步骤 4/5
目标：推导子区间的一致连续性
由于 $[0, \pi)$ 是 $[0, \pi]$ 的子区间，而一致连续性具有遗传性：若函数在闭区间上一致连续，则在其任意子区间上也一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[0, \pi)$ 上一致连续。
提示：注意子区间可以是开区间或半开半闭区间。
步骤 5/5
目标：总结结论
函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $[0, \pi)$ 上一致连续。
提示：最终答案需明确说明一致连续性。
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