安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
七、（10 分）研究 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ 的一致连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数表达式
当 $|x| \leq 1$ 时，$x^{2n} \to 0$，所以 $1 + x^{2n} \to 1$，因此 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + x^{2n}} = 1$。当 $|x| > 1$ 时，$x^{2n} \to \infty$，则 $1 + x^{2n} \sim x^{2n}$，所以 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^{2n}} = x^2$。因此，$f(x) = \begin{cases} 1, & |x| \leq 1, \\ x^2, & |x| > 1. \end{cases}$
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$ 的极限性质
提示：注意分情况讨论时，$|x|=1$ 属于第一种情况，因为 $x^{2n}=1$，极限为1。
步骤 2/5
目标：验证连续性
在 $x = \pm 1$ 处，左极限为 $1$，右极限为 $1$，且 $f(\pm 1) = 1$，所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
提示：分段函数在分段点处的连续性需检查左右极限与函数值相等。
步骤 3/5
目标：分析一致连续性
由于 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，从而一致连续。但在 $|x| \geq 1$ 上，$f(x) = x^2$，而 $x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续（因为导数无界）。
提示：一致连续性要求对任意两点，当距离足够小时函数值差也足够小，与区间是否闭有关。
步骤 4/5
目标：构造反例证明不一致连续
取 $x_n = n$，$y_n = n + \frac{1}{n}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$，但 $|f(x_n) - f(y_n)| = |n^2 - (n+1/n)^2| = |n^2 - (n^2 + 2 + 1/n^2)| = 2 + 1/n^2 \to 2$，不趋于 $0$，所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：构造反例时，两点距离趋于0但函数值差不趋于0，常用 $n$ 和 $n+1/n$ 或 $n$ 和 $n+1$ 等。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。
提示：注意结论是“不一致连续”，不是“不连续”。
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