📝 安徽师范大学 2019年数学分析真题

七、（10 分）研究 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ 的一致连续性．

三、（10 分）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k}=\left(\alpha^{n-1} a_{n}\right)^{n}, a_{1}=1, a_{n}>0, \alpha>1$ 为常数，求 $\displaystyle \sum_{i \neq j} a_{i} a_{j}$ ．

九、（15 分）求一边在 $x$ 轴上，另外两点在 $\displaystyle y=\frac{x}{1+x^{2}}$ 上的矩形绕 $x$ 轴旋转所得几何体体积的最大值．十、（15 分）研究 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right] & x \neq 0, \\ 0 & x=0,\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．

二、（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n}{n+1} \sin ^{2} \frac{n \pi}{4}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \operatorname{Sup}\left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_{n}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} x_{n}$ ．

五、（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-\sqrt{1+x^{4}}}+\sqrt[3]{x^{2}+\sqrt{1+x^{4}}}, x \in(0,+\infty)$ 的反函数．

八、（10 分）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：$\displaystyle x_{1} x_{2} \cdots x_{n}>\frac{1}{2 e}$ ．

六、（10 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+x)^{x}-a^{x}}{x^{2}}$ ．

十一、（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ 的敛散性．

十二、（15 分）计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d z d x+z^{3} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外表面．

四、（10 分）证明：$\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。