安徽师范大学 2019年数学分析第0题

由于曲面 $\Sigma$ 是封闭曲面（球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧），且被积函数 $P=x^3$, $Q=y^3$, $R=z^3$ 在 $\Sigma$ 所围区域 $V$ 内具有一阶连续偏导数，因此可以使用高斯公式将曲面积分转化为三重积分： \[ \oiint_{\Sigma} x^3 dy dz + y^3 dz dx + z^3 dx dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV. \]

计算被积函数的散度： \[ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^3) = 3y^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3z^2. \] 因此， \[ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3(x^2+y^2+z^2). \]

将散度代入三重积分，得到： \[ \iiint_{V} 3(x^2+y^2+z^2) dV, \] 其中 $V$ 是单位球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$。

由于被积函数 $x^2+y^2+z^2$ 在球体上具有球对称性，采用球坐标计算三重积分。球坐标变换： \[ x = r \sin\varphi \cos\theta, \quad y = r \sin\varphi \sin\theta, \quad z = r \cos\varphi, \] 其中 $r \in [0,1]$, $\varphi \in [0,\pi]$, $\theta \in [0,2\pi]$，体积元 $dV = r^2 \sin\varphi \, dr d\varphi d\theta$。

在球坐标下，$x^2+y^2+z^2 = r^2$，因此积分变为： \[ \iiint_{V} 3(x^2+y^2+z^2) dV = 3 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_{0}^{1} r^2 \cdot r^2 dr = 3 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi \int_{0}^{1} r^4 dr. \] 分别计算各积分： \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi = 2, \quad \int_{0}^{1} r^4 dr = \frac{1}{5}. \] 因此， \[ 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{12\pi}{5}. \]

因此，原曲面积分的值为 $\dfrac{12\pi}{5}$。