安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
五、（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-\sqrt{1+x^{4}}}+\sqrt[3]{x^{2}+\sqrt{1+x^{4}}}, x \in(0,+\infty)$ 的反函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入变量简化表达式
令 $u = \sqrt[3]{x^2 - \sqrt{1+x^4}}$, $v = \sqrt[3]{x^2 + \sqrt{1+x^4}}$，则 $f(x) = u + v$。
提示：注意立方根下的表达式互为共轭，便于后续计算乘积。
步骤 2/7
目标：计算 $u^3+v^3$
计算 $u^3 + v^3 = (x^2 - \sqrt{1+x^4}) + (x^2 + \sqrt{1+x^4}) = 2x^2$。
公式：$u^3+v^3 = 2x^2$
提示：注意立方根与立方运算的互逆性。
步骤 3/7
目标：计算 $uv$
计算 $uv = \sqrt[3]{(x^2 - \sqrt{1+x^4})(x^2 + \sqrt{1+x^4})} = \sqrt[3]{x^4 - (1+x^4)} = \sqrt[3]{-1} = -1$。
公式：$uv = -1$
提示：注意平方差公式的应用，以及立方根下结果为-1。
步骤 4/7
目标：利用立方和公式建立方程
利用恒等式 $(u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)$，代入 $y = f(x) = u+v$，得 $y^3 = 2x^2 + 3(-1)y = 2x^2 - 3y$。
公式：$(u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$
提示：注意符号：$uv=-1$，所以 $3uv(u+v) = -3y$。
步骤 5/7
目标：整理得到 $x$ 与 $y$ 的关系
整理 $y^3 = 2x^2 - 3y$ 得 $y^3 + 3y = 2x^2$。由于 $x>0$，解得 $x = \sqrt{\frac{y^3 + 3y}{2}}$。
公式：$x = \sqrt{\frac{y^3+3y}{2}}$
提示：注意 $x>0$，所以取正平方根。
步骤 6/7
目标：确定反函数定义域
原函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，且 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，故反函数定义域为 $(0, +\infty)$。
提示：需要验证单调性，确保反函数存在。
步骤 7/7
目标：写出反函数表达式
因此反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x^3 + 3x}{2}}$，其中 $x \in (0, +\infty)$。
公式：$f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x^3+3x}{2}}$
提示：注意自变量符号：原函数自变量为 $x$，反函数自变量通常用 $x$ 表示，但这里应明确对应关系。
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