安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
八、（10 分）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：$\displaystyle x_{1} x_{2} \cdots x_{n}>\frac{1}{2 e}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析数列的单调性与有界性
由递推式 $x_{n+1} = \frac{2x_n}{1+x_n}$，计算差值：
$$x_{n+1} - x_n = \frac{2x_n}{1+x_n} - x_n = \frac{x_n(1-x_n)}{1+x_n}.$$
由于 $x_1 = \frac12 > 0$，且若 $0 < x_n < 1$，则差为正，且 $x_{n+1} < 1$。由数学归纳法知数列严格递增且有上界 $1$，故收敛。设极限为 $L$，解 $L = \frac{2L}{1+L}$ 得 $L=1$。
公式：x_{n+1} - x_n = \frac{x_n(1-x_n)}{1+x_n}
提示：注意验证 $x_n$ 始终在 $(0,1)$ 内，这是后续放缩的基础。
步骤 2/5
目标：求数列的通项公式
将递推式取倒数：
$$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1+x_n}{2x_n} = \frac{1}{2x_n} + \frac12.$$
令 $y_n = \frac{1}{x_n}$，则 $y_{n+1} = \frac12 y_n + \frac12$。解此线性递推：齐次解 $y_n^{(h)} = C\left(\frac12\right)^{n-1}$，特解为常数 $1$，故 $y_n = 1 + C\left(\frac12\right)^{n-1}$。由 $y_1 = 2$ 得 $C=1$，所以
$$x_n = \frac{1}{1+2^{-(n-1)}}.$$
公式：x_n = \frac{1}{1+2^{-(n-1)}}
提示：取倒数是处理分式递推的常用技巧，注意初始条件的代入。
步骤 3/5
目标：将乘积不等式转化为等价形式
设 $P_n = x_1 x_2 \cdots x_n$，代入通项：
$$P_n = \prod_{k=1}^n \frac{1}{1+2^{-(k-1)}} = \frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1} (1+2^{-k})}.$$
要证 $P_n > \frac{1}{2e}$，等价于证明
$$\prod_{k=0}^{n-1} (1+2^{-k}) < 2e.$$
公式：\prod_{k=0}^{n-1} (1+2^{-k}) < 2e
提示：注意乘积下标从 $k=0$ 开始，对应 $x_1$ 的因子 $1+1$。
步骤 4/5
目标：利用对数放缩估计乘积上界
考虑无穷乘积 $\prod_{k=0}^\infty (1+2^{-k})$，由于因子均大于1，有限乘积随 $n$ 增大而增大，但趋于有限值。取对数：
$$\ln\left(\prod_{k=0}^\infty (1+2^{-k})\right) = \sum_{k=0}^\infty \ln(1+2^{-k}).$$
计算前几项：
$\ln2 \approx 0.693147$，$\ln1.5 \approx 0.405465$，$\ln1.25 \approx 0.223144$，$\ln1.125 \approx 0.117783$，$\ln1.0625 \approx 0.060625$，$\ln1.03125 \approx 0.030772$。
前六项和 $\approx 1.530936$，剩余项和 $< \sum_{k=6}^\infty 2^{-k} = 2^{-5} = 0.03125$，故总和 $< 1.562186$。
而 $\ln(2e) = \ln2 + 1 \approx 1.693147$，因此 $\prod_{k=0}^\infty (1+2^{-k}) < 2e$，从而对任意 $n$ 有 $\prod_{k=0}^{n-1} (1+2^{-k}) < 2e$。
公式：\sum_{k=0}^\infty \ln(1+2^{-k}) < \ln(2e)
提示：放缩时使用 $\ln(1+t) < t$ 估计余项，数值计算要保留足够精度。
步骤 5/5
目标：得出结论
由等价形式 $\prod_{k=0}^{n-1} (1+2^{-k}) < 2e$ 成立，故原不等式 $x_1 x_2 \cdots x_n > \frac{1}{2e}$ 对一切正整数 $n$ 成立。
公式：x_1 x_2 \cdots x_n > \frac{1}{2e}
提示：注意不等号方向：乘积的倒数小于 $2e$ 等价于原乘积大于 $1/(2e)$。
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