安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
十一、（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：估计ln(n!)的渐近行为
使用斯特林公式：\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)，取对数得\(\ln(n!) = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1)\)。当\(n\)充分大时，\(\ln(n!) \sim n\ln n\)。
公式：斯特林公式：\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\)
提示：注意斯特林公式的渐近等价关系，忽略低阶项时需谨慎。
步骤 2/6
目标：构造比较级数
由\(\ln(n!) \sim n\ln n\)，得通项\(a_n = \frac{1}{\ln(n!)} \sim \frac{1}{n\ln n}\)。考虑比较级数\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}\)。
公式：\(a_n \sim \frac{1}{n\ln n}\)
提示：比较级数的通项应选择与\(a_n\)渐近等价的简单形式。
步骤 3/6
目标：判断比较级数的敛散性
使用积分判别法：\(\int_2^{\infty} \frac{dx}{x\ln x} = \ln\ln x\big|_2^{\infty} = \infty\)，因此\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}\)发散。
公式：积分判别法：\(\int_2^{\infty} \frac{dx}{x\ln x}\)发散
提示：积分判别法要求函数单调递减，此处\(f(x)=1/(x\ln x)\)在\(x>1\)时递减。
步骤 4/6
目标：应用极限比较判别法
计算极限：\(\lim_{n\to\infty} \frac{1/\ln(n!)}{1/(n\ln n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\ln n}{\ln(n!)} = 1\)。由于极限为正有限，且\(\sum \frac{1}{n\ln n}\)发散，故原级数也发散。
公式：极限比较判别法：若\(\lim a_n/b_n = c>0\)，则\(\sum a_n\)与\(\sum b_n\)同敛散
提示：极限计算时需确认\(\ln(n!)\)的渐近式正确，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：严格证明（可选）
利用不等式：\(\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k \leq \int_1^{n+1} \ln x dx = (n+1)\ln(n+1)-n\)，可得\(\frac{1}{\ln(n!)} \geq \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)-n}\)，但更简单的做法是直接使用极限比较判别法。
公式：\(\ln(n!) \leq (n+1)\ln(n+1)-n\)
提示：此步骤为补充证明，非必需，但可加深理解。
步骤 6/6
目标：得出结论
级数\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}\)发散。
提示：注意级数从\(n=2\)开始，因为\(\ln(1!)=0\)无定义。
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