安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
四、（10 分）证明：$\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义数列并分析单调性
令 $a_n = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} - \ln n$，则 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(n+1) + \ln n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。
公式：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$
提示：注意对数的运算性质：$\ln(n+1)-\ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。
步骤 2/4
目标：证明单调递减
考虑函数 $f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$，其中 $x>0$。求导得 $f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} > 0$，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增。又 $f(0)=0$，所以 $f(x)>0$ 对 $x>0$ 成立，即 $\ln(1+x) > \frac{x}{1+x}$。取 $x=\frac{1}{n}$，得 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > \frac{1/n}{1+1/n} = \frac{1}{n+1}$，因此 $a_{n+1}-a_n < 0$，即 $a_n$ 严格递减。
公式：$\ln(1+x) > \frac{x}{1+x}$ 对于 $x>0$
提示：构造辅助函数 $f(x)$ 并利用导数判断单调性是常见技巧，注意 $f(0)=0$ 是关键。
步骤 3/4
目标：证明有下界
由不等式 $\ln(1+x) \leq x$（$x>-1$），取 $x=\frac{1}{k}$，得 $\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) \leq \frac{1}{k}$，即 $\frac{1}{k} \geq \ln(k+1)-\ln k$。求和得 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=1}^{n} [\ln(k+1)-\ln k] = \ln(n+1)$。因此 $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \geq \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 0$，故 $a_n$ 有下界 $0$。
公式：$\ln(1+x) \leq x$ 对于 $x>-1$
提示：注意求和时裂项相消，得到 $\ln(n+1)$ 而不是 $\ln n$，最后与 $\ln n$ 相减得到正数。
步骤 4/4
目标：应用单调有界定理
由于 $a_n$ 单调递减且有下界，由单调有界定理，$a_n$ 收敛。其极限称为欧拉常数 $\gamma$，即 $\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} - \ln n\right)$。
提示：单调有界定理是证明数列收敛的常用方法，注意确认单调性和有界性。
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