安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）求一边在 $x$ 轴上，另外两点在 $\displaystyle y=\frac{x}{1+x^{2}}$ 上的矩形绕 $x$ 轴旋转所得几何体体积的最大值．十、（15 分）研究 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right] & x \neq 0, \\ 0 & x=0,\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立矩形模型
设矩形在 $x$ 轴上的边为底边，另外两点在曲线 $y=\frac{x}{1+x^2}$ 上。由于曲线关于原点对称，且 $x>0$ 时 $y>0$，$x<0$ 时 $y<0$，为使矩形在 $x$ 轴上方，取 $x>0$ 部分。设矩形左下顶点为 $(a,0)$，右上顶点为 $(b, y(b))$，其中 $b>a>0$，且 $y(a)=y(b)$ 以保证矩形上边水平。
公式：y(a)=y(b)
提示：注意矩形上边水平，因此两个顶点的纵坐标相等。
步骤 2/7
目标：由纵坐标相等推导a,b关系
由 $y(a)=y(b)$ 得 $\frac{a}{1+a^2}=\frac{b}{1+b^2}$，整理得 $a(1+b^2)=b(1+a^2)$，即 $a+ab^2=b+a^2b$，移项 $a-b = a^2b - ab^2 = ab(a-b)$，所以 $(a-b)(1-ab)=0$。由于 $a\neq b$，故 $ab=1$，即 $b=\frac{1}{a}$。
公式：ab=1
提示：注意 $a\neq b$，因此 $1-ab=0$。
步骤 3/7
目标：表示矩形的高和宽
矩形的高为 $h=y(a)=\frac{a}{1+a^2}$，宽为 $b-a=\frac{1}{a}-a$。
提示：注意 $b=1/a$，代入即可。
步骤 4/7
目标：写出旋转体体积表达式
矩形绕 $x$ 轴旋转得圆柱体，体积 $V=\pi h^2 (b-a)=\pi \left(\frac{a}{1+a^2}\right)^2 \left(\frac{1}{a}-a\right)=\pi \frac{a^2}{(1+a^2)^2} \cdot \frac{1-a^2}{a}=\pi \frac{a(1-a^2)}{(1+a^2)^2}$，其中 $0
公式：V=\pi \frac{a(1-a^2)}{(1+a^2)^2}
提示：注意 $a$ 的范围：$a>0$ 且 $b=1/a>a$ 得 $a<1$，故 $0
步骤 5/7
目标：求导找极值点
令 $f(a)=\frac{a(1-a^2)}{(1+a^2)^2}$，求导：$f'(a)=\frac{(1-3a^2)(1+a^2)-4a^2(1-a^2)}{(1+a^2)^3}$ 化简得 $f'(a)=\frac{1-6a^2+a^4}{(1+a^2)^3}$。令 $f'(a)=0$ 得 $a^4-6a^2+1=0$，解得 $a^2=3\pm2\sqrt{2}$，取 $a^2=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2$，故 $a=\sqrt{2}-1$（$0
公式：f'(a)=\frac{1-6a^2+a^4}{(1+a^2)^3}
提示：求导时注意商法则，化简要仔细。
步骤 6/7
目标：计算最大值
计算 $V_{\max}=\pi f(\sqrt{2}-1)$。代入 $a=\sqrt{2}-1$，则 $a^2=3-2\sqrt{2}$，$1+a^2=4-2\sqrt{2}=2(2-\sqrt{2})$，$1-a^2=2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)$，$a(1-a^2)=(\sqrt{2}-1)\cdot2(\sqrt{2}-1)=2(\sqrt{2}-1)^2$，$(1+a^2)^2=4(2-\sqrt{2})^2$，所以 $f(a)=\frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{4(2-\sqrt{2})^2}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2(2-\sqrt{2})^2}$。注意 $(2-\sqrt{2})^2=4-4\sqrt{2}+2=6-4\sqrt{2}=2(3-2\sqrt{2})=2(\sqrt{2}-1)^2$，故 $f(a)=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2\cdot2(\sqrt{2}-1)^2}=\frac{1}{4}$。因此 $V_{\max}=\frac{\pi}{4}$。
提示：化简时注意利用恒等式 $(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}$。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
矩形绕 $x$ 轴旋转所得几何体体积的最大值为 $\frac{\pi}{4}$。
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