安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
二、（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n}{n+1} \sin ^{2} \frac{n \pi}{4}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \operatorname{Sup}\left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_{n}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} x_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析数列结构
数列 $x_n = \frac{n}{n+1} \sin^2 \frac{n\pi}{4}$ 由两部分组成：$\frac{n}{n+1}$ 和 $\sin^2 \frac{n\pi}{4}$。由于 $\frac{n}{n+1} \to 1$ 且 $\sin^2 \frac{n\pi}{4}$ 是周期为4的周期函数，因此考虑 $n$ 模4的余数。
提示：注意 $\sin^2$ 的周期是 $\pi$，但 $\sin^2 \frac{n\pi}{4}$ 的周期是4。
步骤 2/7
目标：分类讨论 $n$ 模4的余数
当 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 时，$\sin^2 \frac{n\pi}{4} = 0$，$x_n = 0$。
当 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 时，$\sin^2 \frac{n\pi}{4} = \frac{1}{2}$，$x_n = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{2}$。
当 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 时，$\sin^2 \frac{n\pi}{4} = 1$，$x_n = \frac{n}{n+1}$。
当 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$\sin^2 \frac{n\pi}{4} = \frac{1}{2}$，$x_n = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{2}$。
公式：$\sin^2 \frac{n\pi}{4}$ 的值：$n \equiv 0:0$，$n \equiv 1:\frac{1}{2}$，$n \equiv 2:1$，$n \equiv 3:\frac{1}{2}$。
提示：注意 $\sin^2$ 的值非负，且 $\frac{n}{n+1}$ 始终小于1。
步骤 3/7
目标：求下确界 $\inf\{x_n\}$
由于 $x_n \geq 0$，且当 $n$ 为4的倍数时 $x_n = 0$，所以0是数列中的项，因此下确界为0。
提示：下确界是最大下界，这里0是可达的，所以就是最小值。
步骤 4/7
目标：求上确界 $\sup\{x_n\}$
考虑 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 的子列：$x_{4k+2} = \frac{4k+2}{4k+3}$，该子列递增且趋近于1，但始终小于1。其他子列的值均小于该子列的值（因为 $\frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{2} < \frac{n}{n+1}$）。因此上确界为1，但1不是数列中的项。
公式：$\frac{4k+2}{4k+3} \to 1$ 当 $k \to \infty$
提示：上确界不一定在数列中取到，注意与最大值的区别。
步骤 5/7
目标：求下极限 $\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n$
下极限是所有收敛子列的极限的最小值。考虑子列 $n=4k$，其极限为0。其他子列的极限均为正数（$\frac{1}{2}$ 或1），因此下极限为0。
公式：$\lim_{k\to\infty} x_{4k} = 0$
提示：下极限是子列极限的最小值，注意0是可达的。
步骤 6/7
目标：求上极限 $\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n$
上极限是所有收敛子列的极限的最大值。考虑子列 $n=4k+2$，其极限为1。其他子列的极限为 $\frac{1}{2}$ 或0，因此上极限为1。
公式：$\lim_{k\to\infty} x_{4k+2} = 1$
提示：上极限是子列极限的最大值，注意1是极限值但不是数列项。
步骤 7/7
目标：总结答案
因此，$\inf\{x_n\} = 0$，$\sup\{x_n\} = 1$，$\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n = 0$，$\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n = 1$。
提示：注意区分确界与极限。
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