安徽师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
三、（10 分）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k}=\left(\alpha^{n-1} a_{n}\right)^{n}, a_{1}=1, a_{n}>0, \alpha>1$ 为常数，求 $\displaystyle \sum_{i \neq j} a_{i} a_{j}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用递推关系求通项公式
已知 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_k = (\alpha^{n-1} a_n)^n$，且 $a_1=1$，$\alpha>1$。令 $n=1$ 验证成立。对于 $n\ge 2$，写出 $n$ 和 $n-1$ 时的等式：
$$\prod_{k=1}^{n} a_k = (\alpha^{n-1} a_n)^n, \quad \prod_{k=1}^{n-1} a_k = (\alpha^{n-2} a_{n-1})^{n-1}.$$
两式相除得：
$$\frac{\prod_{k=1}^{n} a_k}{\prod_{k=1}^{n-1} a_k} = \frac{(\alpha^{n-1} a_n)^n}{(\alpha^{n-2} a_{n-1})^{n-1}}.$$
左边为 $a_n$，右边化简指数：$\alpha^{n(n-1)-(n-1)(n-2)} = \alpha^{2(n-1)}$，所以
$$a_n = \alpha^{2(n-1)} \cdot \frac{a_n^n}{a_{n-1}^{n-1}}.$$
公式：$$\frac{\prod_{k=1}^{n} a_k}{\prod_{k=1}^{n-1} a_k} = a_n$$
提示：注意指数运算：$n(n-1)-(n-1)(n-2)=2(n-1)$。
步骤 2/7
目标：化简递推关系
由 $a_n = \alpha^{2(n-1)} \cdot \frac{a_n^n}{a_{n-1}^{n-1}}$，两边同时除以 $a_n$（$a_n>0$）得：
$$1 = \alpha^{2(n-1)} \cdot \frac{a_n^{n-1}}{a_{n-1}^{n-1}}.$$
整理得：
$$a_n^{n-1} = \alpha^{-2(n-1)} a_{n-1}^{n-1}.$$
两边开 $n-1$ 次方（$n\ge2$），得：
$$a_n = \alpha^{-2} a_{n-1}.$$
公式：$$a_n = \alpha^{-2} a_{n-1}$$
提示：开方时注意 $a_n>0$，所以正根唯一。
步骤 3/7
目标：写出通项公式
由 $a_n = \alpha^{-2} a_{n-1}$ 知 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比 $q = \alpha^{-2}$，首项 $a_1=1$，所以通项公式为：
$$a_n = a_1 q^{n-1} = \alpha^{-2(n-1)}.$$
公式：$$a_n = \alpha^{-2(n-1)}$$
提示：验证 $n=1$ 时 $a_1=\alpha^0=1$，符合条件。
步骤 4/7
目标：将所求表达式转化为平方和与和的形式
所求为 $\sum_{i \neq j} a_i a_j$，即所有不同下标乘积之和。注意到：
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i
公式：$$\sum_{i \neq j} a_i a_j = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2 - \sum_{i=1}^n a_i^2$$
提示：注意 $i \neq j$ 包括 $ij$，所以是两倍。
步骤 5/7
目标：计算等比数列的和
由 $a_i = \alpha^{-2(i-1)}$，令 $x = \alpha^{-2}$，则 $0
公式：$$\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}$$
提示：注意 $a_i^2 = \alpha^{-4(i-1)} = (\alpha^{-2})^{2(i-1)} = x^{2(i-1)}$。
步骤 6/7
目标：代入并化简表达式
代入得：
$$\sum_{i \neq j} a_i a_j = \left(\frac{1-x^n}{1-x}\right)^2 - \frac{1-x^{2n}}{1-x^2}.$$
通分：分母 $(1-x)^2(1+x)$，分子：
$$(1-x^n)^2(1+x) - (1-x^{2n})(1-x).$$
展开分子：
$$(1-2x^n+x^{2n})(1+x) - (1-x^{2n})(1-x)$$
$$= (1+x-2x^n-2x^{n+1}+x^{2n}+x^{2n+1}) - (1-x - x^{2n} + x^{2n+1})$$
$$= 2x - 2x^n - 2x^{n+1} + 2x^{2n}.$$
因式分解：$2x(1 - x^{n-1} - x^n + x^{2n-1})$。所以
$$\sum_{i \neq j} a_i a_j = \frac{2x(1 - x^{n-1} - x^n + x^{2n-1})}{(1-x)^2(1+x)}.$$
公式：$$\frac{2x(1 - x^{n-1} - x^n + x^{2n-1})}{(1-x)^2(1+x)}$$
提示：通分时注意 $1-x^2=(1-x)(1+x)$。
步骤 7/7
目标：代回原变量并写出最终答案
将 $x = \alpha^{-2}$ 代回，得：
$$\sum_{i \neq j} a_i a_j = \frac{2\alpha^{-2}\left(1-\alpha^{-2(n-1)}-\alpha^{-2n}+\alpha^{-2(2n-1)}\right)}{(1-\alpha^{-2})^2(1+\alpha^{-2})}.$$
此即为最终结果。
公式：$$\boxed{\dfrac{2\alpha^{-2}\left(1-\alpha^{-2(n-1)}-\alpha^{-2n}+\alpha^{-2(2n-1)}\right)}{(1-\alpha^{-2})^2(1+\alpha^{-2})}}$$
提示：注意 $\alpha>1$ 保证分母不为零。
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