安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（14）一、求：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}}{1+2+\cdots+n}$ ；
（2）$\displaystyle \frac{d^{2020}\left[e^{2019 x} \sin (2018 x+2017)\right]}{d x^{2020}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简分子和分母
利用已知求和公式：
$$1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2, \quad 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.$$
公式：$$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2, \quad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$
提示：注意立方和公式与等差数列求和公式的正确形式。
步骤 2/8
目标：代入并化简表达式
将求和结果代入原式：
$$\frac{\sqrt{1^3+2^3+\cdots+n^3}}{1+2+\cdots+n} = \frac{\sqrt{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{n(n+1)}{2}} = 1.$$
提示：注意平方根与平方抵消，结果恒为1，与n无关。
步骤 3/8
目标：求极限
由于表达式恒等于1，极限即为1：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1^3+2^3+\cdots+n^3}}{1+2+\cdots+n} = 1.$$
提示：极限为常数，无需考虑n趋于无穷的复杂情况。
步骤 4/8
目标：将函数表示为复数形式
设 $f(x)=e^{2019x}\sin(2018x+2017)$。利用欧拉公式：
$$\sin(\alpha) = \operatorname{Im}(e^{i\alpha})$$，得
$$f(x) = \operatorname{Im}\left(e^{2019x} e^{i(2018x+2017)}\right) = \operatorname{Im}\left(e^{(2019+2018i)x + i\cdot 2017}\right).$$
公式：$$\sin \theta = \operatorname{Im}(e^{i\theta})$$
提示：注意虚部符号，确保正确提取。
步骤 5/8
目标：求复数指数函数的导数
对于复数指数函数 $e^{(a+bi)x}$，其n阶导数为：
$$\frac{d^n}{dx^n} e^{(a+bi)x} = (a+bi)^n e^{(a+bi)x}.$$
公式：$$\frac{d^n}{dx^n} e^{\lambda x} = \lambda^n e^{\lambda x}$$
提示：该公式对复数λ同样成立。
步骤 6/8
目标：应用导数公式到原函数
对 $f(x)$ 求2020阶导数：
$$\frac{d^{2020}}{dx^{2020}} f(x) = \operatorname{Im}\left((2019+2018i)^{2020} e^{(2019+2018i)x + i\cdot 2017}\right).$$
提示：注意导数运算与虚部提取可交换顺序。
步骤 7/8
目标：将复数化为极坐标形式
令 $r = \sqrt{2019^2+2018^2}$，$\theta = \arctan\frac{2018}{2019}$，则 $2019+2018i = r e^{i\theta}$，所以 $(2019+2018i)^{2020} = r^{2020} e^{i2020\theta}$。
公式：$$a+bi = re^{i\theta}, \quad r=\sqrt{a^2+b^2}, \theta=\arctan(b/a)$$
提示：注意arctan的象限，这里a>0,b>0，θ在第一象限。
步骤 8/8
目标：写出最终导数表达式
代入极坐标形式：
$$\frac{d^{2020}}{dx^{2020}} f(x) = \operatorname{Im}\left(r^{2020} e^{i2020\theta} e^{(2019+2018i)x + i\cdot 2017}\right) = r^{2020} e^{2019x} \sin(2018x+2017+2020\theta).$$
其中 $r = \sqrt{2019^2+2018^2}$，$\theta = \arctan\frac{2018}{2019}$。
提示：最终结果中正弦函数的相位要加上2020θ。
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