安徽师范大学 2020年数学分析第0题

设椭圆上任意一点为 $P(x, y)$，则 $P$ 满足 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$。点 $A(0, b)$ 到 $P$ 的距离平方为 $d^{2} = x^{2} + (y - b)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2by + b^{2}$。

由椭圆方程得 $x^{2} = a^{2}\left(1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$，代入 $d^{2}$ 得 $d^{2} = a^{2}\left(1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}\right) + y^{2} - 2by + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2by + \left(1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}\right)y^{2}$。令 $k = 1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}$，则 $d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2by + k y^{2}$，其中 $y \in [-b, b]$。

对 $d^{2}$ 关于 $y$ 求导：$\frac{d(d^{2})}{dy} = -2b + 2k y$。令导数为零得 $y = \frac{b}{k}$。代入 $k = \frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}$ 得 $y = \frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}}$。

分情况讨论： 1. 若 $a > b$，则 $k < 0$，$y = \frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}} < 0$，且 $y \in [-b, b]$，此时 $d^{2}$ 在 $y = \frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}}$ 处取极大值，但需比较端点。 2. 若 $a < b$，则 $k > 0$，$y = \frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}} > b$，不在区间内，故最大值在端点 $y = b$ 或 $y = -b$ 处取得。 3. 若 $a = b$，则椭圆为圆，最大弦长为直径 $2a$。

计算端点： - 当 $y = b$ 时，$x = 0$，$d = 0$。 - 当 $y = -b$ 时，$x = 0$，$d = 2b$。

对于 $a > b$，计算 $y = \frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}}$ 处的 $d^{2}$： $d^{2} = a^{2} + b^{2} - 2b\cdot\frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}} + k\left(\frac{b^{3}}{b^{2} - a^{2}}\right)^{2}$。 代入 $k = \frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}$，化简得 $d^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{2b^{4}}{b^{2} - a^{2}} + \frac{b^{4}}{b^{2} - a^{2}} = a^{2} + b^{2} - \frac{b^{4}}{b^{2} - a^{2}}$。 通分得 $d^{2} = \frac{(a^{2} + b^{2})(b^{2} - a^{2}) - b^{4}}{b^{2} - a^{2}} = \frac{-a^{4}}{b^{2} - a^{2}} = \frac{a^{4}}{a^{2} - b^{2}}$。 所以 $d = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$。

比较 $d = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ 与 $2b$： $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} > 2b \iff a^{4} > 4b^{2}(a^{2} - b^{2}) \iff a^{4} - 4a^{2}b^{2} + 4b^{4} > 0 \iff (a^{2} - 2b^{2})^{2} > 0$，当 $a \neq \sqrt{2}b$ 时成立，当 $a = \sqrt{2}b$ 时相等。 因此，当 $a > b$ 时，最大弦长为 $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$（当 $a = \sqrt{2}b$ 时与 $2b$ 相等，但公式仍适用）。

综上，最大弦长为： - 若 $a > b$，最大弦长为 $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$； - 若 $a = b$，椭圆为圆，最大弦长为直径 $2a$； - 若 $a < b$，最大弦长为 $2b$。