安徽师范大学 2020年数学分析第0题

数列由所有分母为$n$（$n\geq 2$）且分子与分母互质的真分数组成，按分母递增排列，同一分母内分子从小到大排列。例如：分母2：$\frac{1}{2}$；分母3：$\frac{1}{3},\frac{2}{3}$；分母4：$\frac{1}{4},\frac{3}{4}$；分母5：$\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$；分母6：$\frac{1}{6},\frac{3}{6},\frac{5}{6}$（注意$\frac{2}{6},\frac{4}{6}$约分后分母变小，故不出现）；等等。

聚点是数列的极限点的集合。由于所有项都是$[0,1]$内的有理数，因此任何聚点必然在$[0,1]$内。接下来证明$[0,1]$中的每个实数都是聚点。

对于任意$k\in[0,1]$，考虑序列$\frac{\lfloor kn \rfloor}{n}$，当$n\to\infty$时，该序列趋于$k$。但$\frac{\lfloor kn \rfloor}{n}$不一定既约。然而，我们可以通过调整得到既约分数序列：取$n$为素数，则$\lfloor kn \rfloor$与$n$互质的概率趋于1，因此存在无穷多个$n$使得$\frac{\lfloor kn \rfloor}{n}$既约。更严谨地，利用狄利克雷定理或简单构造：对任意$\epsilon>0$，存在既约分数$\frac{p}{q}$满足$|k-\frac{p}{q}|<\epsilon$且$q$足够大，这样的分数必在数列中出现。

由于数列包含所有既约真分数，且分母可以任意大，因此对任意$k\in[0,1]$，存在既约分数序列$\frac{p_n}{q_n}\to k$（例如取$q_n$为素数，$p_n=\lfloor k q_n \rfloor$，则$\frac{p_n}{q_n}$既约且趋于$k$）。这些分数都在数列中，故$k$是聚点。

数列所有项都在$[0,1]$内，因此任何不在$[0,1]$内的点，其邻域内至多包含有限项（实际上0项），故不是聚点。

综上，数列的聚点集合为闭区间$[0,1]$。