安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（15）九、求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别第一个级数
第一个级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$。根据指数函数的泰勒展开，$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，令 $x=1$ 得 $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$。
公式：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
提示：注意级数从 $n=0$ 开始，$0! = 1$。
步骤 2/5
目标：识别第二个级数
第二个级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$。同样利用 $e^x$ 的展开，令 $x=-1$ 得 $e^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$。
公式：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
提示：注意 $(-1)^n$ 的符号变化。
步骤 3/5
目标：写出乘积表达式
题目要求计算两个级数的乘积：$\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \right)$。
提示：注意乘积是两个级数相乘，不是级数内部项相乘。
步骤 4/5
目标：代入已知值
由前两步知，第一个级数等于 $e$，第二个级数等于 $e^{-1}$，因此乘积为 $e \cdot e^{-1}$。
公式：$e \cdot e^{-1} = e^{0} = 1$
提示：指数运算性质：$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$。
步骤 5/5
目标：计算结果
计算 $e \cdot e^{-1} = 1$，所以原式等于 $1$。
提示：最终结果是一个常数，与 $n$ 无关。
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