安徽师范大学 2020年数学分析第0题

考虑序列 $x_n = \cos^n\left(\frac{n\pi}{4}\right)$。由于 $\frac{n\pi}{4}$ 的取值依赖于 $n$ 模8的余数，我们列出 $n \equiv 0,1,\dots,7 \pmod{8}$ 时 $\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)$ 的值： - $n \equiv 0$：$\cos(0)=1$ - $n \equiv 1$：$\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ - $n \equiv 2$：$\cos(\pi/2)=0$ - $n \equiv 3$：$\cos(3\pi/4)=-\sqrt{2}/2$ - $n \equiv 4$：$\cos(\pi)=-1$ - $n \equiv 5$：$\cos(5\pi/4)=-\sqrt{2}/2$ - $n \equiv 6$：$\cos(3\pi/2)=0$ - $n \equiv 7$：$\cos(7\pi/4)=\sqrt{2}/2$

根据 $\cos$ 值计算 $x_n = \cos^n\left(\frac{n\pi}{4}\right)$： - $n \equiv 0$：$x_n = 1^n = 1$ - $n \equiv 1$：$x_n = (\sqrt{2}/2)^n$ - $n \equiv 2$：$x_n = 0^n = 0$（$n\ge1$） - $n \equiv 3$：$x_n = (-\sqrt{2}/2)^n$，由于 $n$ 为奇数，结果为负 - $n \equiv 4$：$x_n = (-1)^n$，由于 $n$ 为偶数，结果为1 - $n \equiv 5$：$x_n = (-\sqrt{2}/2)^n$，$n$ 为奇数，结果为负 - $n \equiv 6$：$x_n = 0$ - $n \equiv 7$：$x_n = (\sqrt{2}/2)^n$ 注意：$n \equiv 4$ 时 $n$ 是偶数，故 $(-1)^n=1$。

从上述结果看出，$x_n$ 可以取到1（当 $n \equiv 0,4 \pmod{8}$），且所有 $x_n$ 满足 $|x_n| \leq 1$，因此 $\sup\{x_n\}=1$。

序列中负值出现在 $n \equiv 3,5 \pmod{8}$ 时，且 $x_n = (-\sqrt{2}/2)^n$。由于 $n$ 为奇数，结果为负，且绝对值随 $n$ 增大而减小。最小的负值出现在最小的 $n$，即 $n=3$：$x_3 = (-\sqrt{2}/2)^3 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$。$n=5$ 时 $x_5 = -\frac{\sqrt{2}}{32}$ 更大（即更接近0）。因此 $\inf\{x_n\} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$。

上极限是子列极限的最大值。存在子列 $n \equiv 0,4 \pmod{8}$ 使得 $x_n=1$，故 $\varlimsup_{n\to\infty} x_n = 1$。其他子列极限均不超过1。

下极限是子列极限的最小值。考虑子列 $n \equiv 2,6 \pmod{8}$，$x_n=0$，极限为0。另外，$n \equiv 3,5 \pmod{8}$ 时 $x_n \to 0$（从负方向），$n \equiv 1,7 \pmod{8}$ 时 $x_n \to 0$（从正方向）。所有子列的极限都是0或1，但0是更小的。因此 $\varliminf_{n\to\infty} x_n = 0$。