安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（10）五、求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2020} \frac{2020^{x}-x^{2020}}{x-2020}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量代换简化极限形式
令 $t = x - 2020$，则 $x = t + 2020$，当 $x \to 2020$ 时 $t \to 0$。原极限化为
\[
\lim_{t \to 0} \frac{2020^{t+2020} - (t+2020)^{2020}}{t}.
\]
提示：注意代换后分子分母同时变化，极限形式变为 $\frac{0}{0}$ 型，为后续使用导数定义或洛必达法则做准备。
步骤 2/5
目标：将分子写成便于求导的形式
分子可写为 $2020^{2020} \cdot 2020^t - (t+2020)^{2020}$。考虑函数 $f(t) = 2020^{2020} \cdot 2020^t - (t+2020)^{2020}$，则 $f(0) = 2020^{2020} - 2020^{2020} = 0$。原极限即为 $f'(0)$。
公式：导数定义：$f'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t}$
提示：确认 $f(0)=0$，否则不能直接使用导数定义。
步骤 3/5
目标：求函数 $f(t)$ 的导数
计算 $f'(t)$：
\[
f'(t) = 2020^{2020} \cdot 2020^t \ln 2020 - 2020 (t+2020)^{2019}.
\]
公式：$(a^t)' = a^t \ln a$，$(t+2020)^{2020}$ 的导数为 $2020(t+2020)^{2019}$
提示：注意指数函数求导时不要漏掉 $\ln 2020$，幂函数求导时系数 $2020$ 不要忘记。
步骤 4/5
目标：代入 $t=0$ 得到极限值
代入 $t=0$ 得
\[
f'(0) = 2020^{2020} \cdot \ln 2020 - 2020 \cdot 2020^{2019} = 2020^{2020} \ln 2020 - 2020^{2020} = 2020^{2020} (\ln 2020 - 1).
\]
因此原极限为 $2020^{2020} (\ln 2020 - 1)$。
提示：化简 $2020 \cdot 2020^{2019} = 2020^{2020}$ 时注意指数运算。
步骤 5/5
目标：（备选方法）直接使用洛必达法则
原极限为 $\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 2020} \frac{2020^x - x^{2020}}{x-2020} = \lim_{x \to 2020} \left(2020^x \ln 2020 - 2020 x^{2019}\right) = 2020^{2020} \ln 2020 - 2020 \cdot 2020^{2019} = 2020^{2020} (\ln 2020 - 1).
\]
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$（满足条件时）
提示：使用洛必达法则前需验证是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且导数存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。