安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（10）八、求 $\displaystyle \int \frac{\sin x}{2 \sin x+\cos x} d x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：使用万能代换化简积分
令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2}dt$。代入原积分得：
$$\int \frac{\sin x}{2\sin x+\cos x}dx = \int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{2\cdot\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}dt = \int \frac{4t}{(1+t^2)(-t^2+4t+1)}dt$$
公式：$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, dx = \frac{2}{1+t^2}dt$
提示：注意分母化简时不要出错，$2\sin x+\cos x = \frac{4t+1-t^2}{1+t^2}$。
步骤 2/6
目标：部分分式分解被积函数
设 $\frac{4t}{(1+t^2)(-t^2+4t+1)} = \frac{At+B}{1+t^2} + \frac{Ct+D}{-t^2+4t+1}$。通分后比较系数，解得 $A=1, B=-\frac{1}{2}, C=1, D=\frac{1}{2}$。因此：
$$\int \frac{4t}{(1+t^2)(-t^2+4t+1)}dt = \int \left( \frac{t-\frac{1}{2}}{1+t^2} + \frac{t+\frac{1}{2}}{-t^2+4t+1} \right) dt$$
公式：部分分式分解
提示：解系数时注意方程组求解，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：拆分积分并计算第一部分
将积分拆分为：
$$\int \frac{t-\frac{1}{2}}{1+t^2}dt = \int \frac{t}{1+t^2}dt - \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t^2}dt = \frac{1}{2}\ln(1+t^2) - \frac{1}{2}\arctan t + C_1$$
公式：$\int \frac{t}{1+t^2}dt = \frac{1}{2}\ln(1+t^2)$, $\int \frac{1}{1+t^2}dt = \arctan t$
提示：注意 $\arctan t$ 的系数为 $-\frac{1}{2}$。
步骤 4/6
目标：处理第二部分积分：分子配凑分母导数
令 $u = -t^2+4t+1$，则 $du = (-2t+4)dt$。将分子 $t+\frac{1}{2}$ 表示为 $t+\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(-2t+4) + \frac{5}{2}$。于是：
$$\int \frac{t+\frac{1}{2}}{-t^2+4t+1}dt = -\frac{1}{2}\int \frac{-2t+4}{-t^2+4t+1}dt + \frac{5}{2}\int \frac{1}{-t^2+4t+1}dt$$
第一项为 $-\frac{1}{2}\ln|-t^2+4t+1|$。
公式：$\int \frac{f'(t)}{f(t)}dt = \ln|f(t)|$
提示：配凑时注意系数，$t+\frac{1}{2}$ 要写成 $\alpha(-2t+4)+\beta$ 的形式。
步骤 5/6
目标：计算第二部分中的有理函数积分
对 $\int \frac{1}{-t^2+4t+1}dt$，分母配方：$-t^2+4t+1 = -(t^2-4t-1) = -[(t-2)^2-5] = 5-(t-2)^2$。因此：
$$\int \frac{1}{-t^2+4t+1}dt = \int \frac{1}{5-(t-2)^2}dt = \frac{1}{2\sqrt{5}}\ln\left|\frac{t-2+\sqrt{5}}{t-2-\sqrt{5}}\right| + C$$
注意符号：$\int \frac{1}{a^2-u^2}du = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u+a}{u-a}\right|$，这里 $a=\sqrt{5}, u=t-2$。所以第二项为 $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{5}}\ln\left|\frac{t-2+\sqrt{5}}{t-2-\sqrt{5}}\right| = \frac{5}{4\sqrt{5}}\ln\left|\frac{t-2+\sqrt{5}}{t-2-\sqrt{5}}\right|$。
公式：$\int \frac{1}{a^2-u^2}du = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u+a}{u-a}\right|$
提示：注意分母配方后的形式，以及积分公式中分子分母的顺序，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：合并所有部分并回代变量
将各部分积分合并：
$$\frac{1}{2}\ln(1+t^2) - \frac{1}{2}\arctan t - \frac{1}{2}\ln|-t^2+4t+1| + \frac{5}{4\sqrt{5}}\ln\left|\frac{t-2+\sqrt{5}}{t-2-\sqrt{5}}\right| + C$$
化简对数项：$\frac{1}{2}\ln(1+t^2) - \frac{1}{2}\ln|-t^2+4t+1| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+t^2}{-t^2+4t+1}\right|$。
回代 $t = \tan\frac{x}{2}$，并利用 $1+t^2 = \sec^2\frac{x}{2}$，$-t^2+4t+1 = \frac{\cos x+2\sin x}{\cos^2\frac{x}{2}}$，得 $\frac{1+t^2}{-t^2+4t+1} = \frac{1}{\cos x+2\sin x}$。同时 $\arctan t = \frac{x}{2}$。因此最终结果为：
$$-\frac{1}{2}\ln|\cos x+2\sin x| - \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}\ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}-2-\sqrt{5}}{\tan\frac{x}{2}-2+\sqrt{5}}\right| + C$$
公式：回代公式
提示：回代时注意化简，$\frac{5}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$，且对数内部分子分母顺序与之前相反，注意符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。