安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（10）六、讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的结论
我们需要判断函数 $f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上是否一致连续。结论是：该函数在 $(0,1]$ 上不一致连续。
提示：注意区分一致连续与连续的概念：一致连续要求对任意两点，只要距离足够小，函数值差就小于任意给定正数；而连续只要求每一点处满足该性质。
步骤 2/7
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续的定义：$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得对任意 $x,y\in I$，只要 $|x-y|<\delta$，就有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，都存在 $x,y\in I$ 满足 $|x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon_0$。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x,y\in I:|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意否定形式：存在 $\varepsilon_0>0$，对任意 $\delta>0$，存在两点距离小于 $\delta$ 但函数值差至少为 $\varepsilon_0$。
步骤 3/7
目标：构造两个点列
考虑点列 $x_n=\frac{1}{2n\pi}$ 和 $y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$，其中 $n$ 为正整数。当 $n\to\infty$ 时，$x_n$ 和 $y_n$ 都趋于 $0$，且 $x_n,y_n\in(0,1]$。
提示：选择点列的关键是使 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x_n$ 处为 $0$，在 $y_n$ 处为 $1$，从而放大函数值的差异。
步骤 4/7
目标：计算两点列之间的距离
计算 $|x_n-y_n|$：
$$|x_n-y_n|=\left|\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\right|=\frac{\frac{\pi}{2}}{2n\pi(2n\pi+\frac{\pi}{2})}=\frac{\pi}{4n\pi(2n\pi+\frac{\pi}{2})}=\frac{1}{4n(2n\pi+\frac{\pi}{2})}.$$
当 $n\to\infty$ 时，$|x_n-y_n|\sim\frac{1}{8n^2}\to 0$。因此，对任意 $\delta>0$，存在充分大的 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$。
公式：$|x_n-y_n|=\frac{\pi/2}{2n\pi(2n\pi+\pi/2)}$
提示：注意化简过程，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：计算两点列的函数值差
计算 $|f(x_n)-f(y_n)|$：
$$f(x_n)=\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{x_n}=2n\pi\sin(2n\pi)=2n\pi\cdot0=0,$$
$$f(y_n)=\frac{1}{y_n}\sin\frac{1}{y_n}=\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\cdot1=2n\pi+\frac{\pi}{2}.$$
因此，$|f(x_n)-f(y_n)|=2n\pi+\frac{\pi}{2}\to\infty$ 当 $n\to\infty$。
公式：$\sin(2n\pi)=0$，$\sin(2n\pi+\pi/2)=1$
提示：注意 $\sin\frac{1}{x_n}=\sin(2n\pi)=0$，$\sin\frac{1}{y_n}=\sin(2n\pi+\pi/2)=1$。
步骤 6/7
目标：取定一个正数并验证不一致连续性
取 $\varepsilon_0=1$。对任意 $\delta>0$，由第4步，存在充分大的 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$，但由第5步，$|f(x_n)-f(y_n)|=2n\pi+\frac{\pi}{2}>1$。因此，根据一致连续定义的否定，$f(x)$ 在 $(0,1]$ 上不一致连续。
提示：注意 $\varepsilon_0$ 可以取任何正数，这里取1方便。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，函数 $f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ 在 $(0,1]$ 上不一致连续。
提示：该函数在 $(0,1]$ 上连续但不一致连续，原因是 $x\to 0^+$ 时振荡越来越剧烈。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。