安徽师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
（15）十一、求 $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{d y}{(\ln y)^{2 x}}$ 的定义域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确被积函数和可能的瑕点
被积函数为 $f(y) = \frac{1}{(\ln y)^{2x}}$，积分区间为 $(0, 2]$。可能的瑕点出现在：
1. $y \to 0^+$ 时，$\ln y \to -\infty$，分母可能趋于无穷大或零；
2. $y \to 1$ 时，$\ln y \to 0$，分母趋于零，函数发散；
3. $y=2$ 处函数值有限，无瑕点。
因此需分别讨论 $y=0$ 和 $y=1$ 附近的收敛性。
公式：$f(y) = \frac{1}{(\ln y)^{2x}}$
提示：注意 $\ln y$ 在 $y<1$ 时为负，需考虑实数意义，通常理解为 $|\ln y|^{2x}$ 或要求 $2x$ 为整数。
步骤 2/4
目标：处理 y=1 处的瑕点
在 $y=1$ 附近，令 $t = y-1$，则 $t \to 0$ 时 $\ln y = \ln(1+t) \sim t$。被积函数近似为 $\frac{1}{t^{2x}}$。积分形如 $\int_{-\delta}^{\delta} \frac{1}{|t|^{2x}} dt$。由 $p$ 积分判别法，$\int_0^\delta t^{-p} dt$ 在 $p<1$ 时收敛，$p \geq 1$ 时发散。此处 $p = 2x$，故要求 $2x < 1$，即 $x < \frac{1}{2}$。
公式：$\ln(1+t) \sim t$，$\int_0^\delta t^{-p} dt$ 收敛当且仅当 $p<1$
提示：注意 $y=1$ 是瑕点，需单独分析，且 $x$ 的取值直接影响收敛性。
步骤 3/4
目标：处理 y→0⁺ 处的收敛性（考虑实数意义）
为使被积函数在 $(0,1)$ 上为实数，通常将 $\ln y$ 取绝对值，即考虑 $\frac{1}{|\ln y|^{2x}}$。令 $u = -\ln y$，则 $y = e^{-u}$，$dy = -e^{-u} du$，当 $y \to 0^+$ 时 $u \to +\infty$。积分化为 $\int_{-\ln a}^{\infty} \frac{e^{-u}}{u^{2x}} du$。由于 $e^{-u}$ 指数衰减，对任意实数 $x$，该积分均收敛。因此 $y \to 0^+$ 处对 $x$ 无限制。
公式：$\int_{0}^{a} \frac{dy}{|\ln y|^{2x}} = \int_{-\ln a}^{\infty} \frac{e^{-u}}{u^{2x}} du$
提示：若未取绝对值，则需 $2x$ 为整数以保证实数性，但常见习题默认取绝对值处理。
步骤 4/4
目标：综合瑕点结论
由 $y=1$ 处要求 $x < \frac{1}{2}$，$y \to 0^+$ 处对任意 $x$ 均收敛，故积分收敛的充要条件为 $x < \frac{1}{2}$。定义域为 $(-\infty, \frac{1}{2})$。
公式：无
提示：注意 $y=1$ 是唯一限制条件，$y=0$ 处因指数衰减自动收敛。
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